Метод математической индукции для суммы обратных произведений текущего и последующего чисел

Доказательство методом математической индукции суммы обратных произведений текущего и последующего чисел использует индукцию вверх от n к n+1.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$n_{1}$ — номер первого текущего числа, $n_{1}>0$ ;

$a_{i}$ — $i$ -ое слагаемое, $a_{i}={\frac {1}{(n_{1}+i-1)(n_{1}+i)}}$ ;

$S_{n}$ — сумма $n$ слагаемых, $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}$ .

Формула

$S_{n}={\frac {n}{n_{1}(n_{1}+n)}}\Leftrightarrow {\frac {1}{n_{1}(n_{1}+1)}}+{\frac {1}{(n_{1}+1)(n_{1}+2)}}+\ldots +{\frac {1}{(n_{1}+n-1)(n_{1}+n)}}={\frac {n}{n_{1}(n_{1}+n)}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{(n_{1}+i-1)(n_{1}+i)}}={\frac {n}{n_{1}(n_{1}+n)}}$ .

Доказательство

1. Проверяем формулу $S_{k}$ при $k=1.\ S_{1}={\frac {1}{(n_{1}+1-1)(n_{1}+1)}}={\frac {1}{n_{1}(n_{1}+1)}}$ и $S_{1}={\frac {1}{n_{1}(n_{1}+1)}}$ , очевидно, формула верна.

2. Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что формула $S_{k}$ верна при $k=n$ , и доказываем формулу для $k=n+1$ .

$S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}={\frac {n}{n_{1}(n_{1}+n)}}+{\frac {1}{[n_{1}+(n+1)-1][(n_{1}+(n+1)]}}={\frac {n}{n_{1}(n_{1}+n)}}+{\frac {1}{(n_{1}+n)(n_{1}+n+1)}}={\frac {n(n_{1}+n+1)+n_{1}}{n_{1}(n_{1}+n)(n_{1}+n+1)}}=$

$={\frac {(nn_{1}+n_{1})+n(n+1)}{n_{1}(n_{1}+n)(n_{1}+n+1)}}={\frac {n_{1}(n+1)+n(n+1)}{n_{1}(n_{1}+n)(n_{1}+n+1)}}={\frac {(n+1)(n_{1}+n)}{n_{1}(n_{1}+n)(n_{1}+n+1)}}={\frac {n+1}{n_{1}(n_{1}+n+1)}}\Leftrightarrow S_{n+1}={\frac {n+1}{n_{1}(n_{1}+n+1)}}$ , то есть формула верна при $k=n+1$ , ч.т.д.

Другие доказательства:

1. Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего чисел;
2. Доказательство суммы обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел;
3. Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел;
4. Доказательство суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел;
5. Доказательство суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел;
6. Доказательство суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел;
7. Доказательство суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел;
8. Доказательство суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел;
9. Доказательство суммы логарифмов отношений последующего и текущего чисел;
10. Доказательство суммы синусов кратных углов;
11. Доказательство суммы косинусов кратных углов;
12. ММИ для суммы арифметической прогрессии;
13. ММИ для суммы геометрической прогрессии;
14. ММИ для суммы n натуральных чисел;
15. ММИ для суммы квадратов n натуральных чисел;
16. ММИ для суммы кубов n натуральных чисел;
17. ММИ для суммы обратных произведений текущего и последующего чисел;
18. ММИ для суммы обратных произведений текущего и последующего нечётных чисел;
19. ММИ для суммы обратных сумм корней текущего и предыдущего чисел;
20. ММИ для суммы обратных сумм корней текущего и последующего чисел;
21. ММИ для суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и предыдущего чисел;
22. ММИ для суммы обратных неполных квадратов сумм кубических корней текущего и последующего чисел;
23. ММИ для суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и предыдущего чисел;
24. ММИ для суммы обратных произведений сумм корней второй и четвёртой степеней текущего и последующего чисел;
25. ММИ для суммы отношений числа и 2 в степени этого числа для n натуральных чисел;
26. ММИ для суммы логарифмов отношений последующего и текущего чисел;
27. ММИ для суммы синусов кратных углов;
28. ММИ для суммы косинусов кратных углов.

Ссылки

• Участник:Logic-samara