Второй замечательный предел

Второй замечательный предел и его модификации. Замена переменной под знаком предельного перехода // Виктор Глазнев [15:02]

Второй замечательный предел — наименование в советской и российской математической литературе предела вида

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e.}

(e — число Эйлера).

Следствия

1. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^x = \frac{1}{e};}
2. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e;}
3. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left(1 - \frac{1}{x}\right)^x = \frac{1}{e};}
4. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}} = e;}
5. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(1 - x\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{e};}
6. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\ln(1+x)}{x} = 1;}
7. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\ln(1-x)}{x} = -1;}
8. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x}{\ln(1+x)} = 1;}
9. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x}{\ln(1-x)} = -1.}

Доказательства следствий

Нахождение пределов с помощью второго замечательного предела

При a>0 верны преобразования:

Другие пределы:

1. предел последовательности;
2. предел функции;
3. первый замечательный предел;
4. второй замечательный предел;
5. пределы дробно-рациональных функций;
6. пределы функций с корнями.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

Ссылки

• Участник:Logic-samara