Второй замечательный предел

Второй замечательный предел и его модификации. Замена переменной под знаком предельного перехода // Виктор Глазнев [15:02]

Второй замечательный предел — наименование в советской и российской математической литературе предела вида

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.}

(e — число Эйлера).

Следствия

1. $\lim _{x\to \infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}};$
2. Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e;}
3. $\lim _{x\to -\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}};$
4. $\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e;$
5. $\lim _{x\to 0}\left(1-x\right)^{\frac {1}{x}}={\frac {1}{e}};$
6. ${\frac {\ln(1+x)}{x}}=1;$
7. ${\frac {\ln(1-x)}{x}}=-1;$
8. ${\frac {x}{\ln(1+x)}}=1;$
9. ${\frac {x}{\ln(1-x)}}=-1.$

Доказательства следствий

Нахождение пределов с помощью второго замечательного предела

При a>0 верны преобразования:

Другие пределы

• первый замечательный предел;
• пределы дробно-рациональных функций;
• пределы функций с корнями.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

Ссылки

• Участник:Logic-samara