Предел последовательности

Предел последовательности — математический термин, обозначающий некое предельное число, к которому стремится бесконечная последовательность.

Определение

Пределом числовой последовательности {x_n} называется число A, в ε-окрестность которого попадают все члены последовательности с номером больше номера N(ε).

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ такое, что }}\forall n>N(\varepsilon )\Rightarrow \left|x_{n}-A\right|<\varepsilon$

Виды пределов

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow \left|x_{n}-A\right|<\varepsilon$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow \left|x_{n}\right|<\varepsilon$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow x_{n}>\varepsilon$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow -x_{n}>\varepsilon$

Свойства пределов

• Для последовательностей {x_n} и {y_n} верны правила:

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}+\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(x_{n}-y_{n})=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}-\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(x_{n}\cdot y_{n})=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}}}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left({x_{n}}^{y_{n}}\right)={\left(\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}^{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}}$

• При x_n и y_n = C получаем:

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(x_{n}+C)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}+C$

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_n-C)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n-C}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x_n\cdot C)=C\cdot\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n}

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}}{C}}={\frac {1}{C}}\cdot \lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left({x_{n}}^{C}\right)={\left(\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}^{C}$

• При x_n = C и y_n получаем:

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(C+y_{n})=C+\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(C-y_{n})=C-\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(C\cdot y_{n})=C\cdot \lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {C}{y_{n}}}={\frac {C}{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}}}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left(C^{y_{n}}\right)=C^{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}}$

Другие пределы:

1. предел последовательности;
2. предел функции;
3. первый замечательный предел;
4. второй замечательный предел;
5. пределы дробно-рациональных функций;
6. пределы функций с корнями.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.