Предел функции

Предел функции — математический термин, обозначающий некое предельное число, к которому стремится функция в точке или «на бесконечности».

Определение

Пределом функции f{x} в точке a называется число A, в ε-окрестность которого попадают все значения функции в точках из δ-окрестности точки a.

$\lim \limits _{x\rightarrow a}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ такое, что }}\forall x\in \mathbb {R} ,\ \left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

Виды пределов

$\lim _{x\to a}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

$\lim _{x\to a}f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$\lim _{x\to a}f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to a}f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to 0}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

$\lim _{x\to 0}f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$\lim _{x\to 0}f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to 0}f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon </math>:<math>\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon$

Свойства пределов

• Для функций u = f(x) и v = g(x) верны правила:

$\lim _{x\to a}(u\pm v)=\lim _{x\to a}u\pm \lim _{x\to a}v$

$\lim _{x\to a}(u\cdot v)=\lim _{x\to a}u\cdot \lim _{x\to a}v$

$\lim _{x\to a}{\frac {u}{v}}={\frac {\lim _{x\to a}u}{\lim _{x\to a}v}}$

$\lim _{x\to a}u^{v}=\left(\lim _{x\to a}u\right)^{{\underset {x\to a}{\lim }}v}$

• При использовании данных равенств преобразование слева направо справедливо тогда и только тогда, когда справа оба предела существуют.

• При f(x) = u и g(x) = C получаем:

$\lim _{x\to a}(u\pm C)=\lim _{x\to a}u\pm C$

$\lim _{x\to a}(u\cdot C)=C\lim _{x\to a}u$

$\lim _{x\to a}{\frac {u}{C}}={\frac {1}{C}}\lim _{x\to a}u$

$\lim _{x\to a}u^{C}=\left(\lim _{x\to a}u\right)^{C}$

• При f(x) = C и g(x) = v получаем:

$\lim _{x\to a}(C\pm v)=C\pm \lim _{x\to a}v$

$\lim _{x\to a}(C\cdot v)=C\lim _{x\to a}v$

$\lim _{x\to a}Cv=C{\lim _{x\to a}v}$

$\lim _{x\to a}C^{v}=C^{{\underset {x\to a}{\lim }}v}$

Другие пределы:

1. предел последовательности;
2. предел функции;
3. первый замечательный предел;
4. второй замечательный предел;
5. пределы дробно-рациональных функций;
6. пределы функций с корнями.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.