Возведение в комплексную степень комплексного числа

Формула

✓ i^i. Комплексная степень / В интернете опять кто-то неправ #007 //

Возведение в комплексную степень комплексного числа — это обобщение операции возведения в степень для комплексных чисел .

Формула:

[math]\displaystyle{ (x_1+iy_1)^{(x_2+iy_2)}=e^{(x_2+iy_2)Ln(x_1+iy_1)}=e^{(x_2+iy_2)\left[\ln\sqrt{x_1^2+y_1^2}+i\left(arctg\frac{y_1}{x_1}+2\pi n\right)\right]} }[/math] [math]\displaystyle{ (n \in \mathbb{Z}) }[/math]

Так как определение опирается на логарифм комплексного числа, который является многозначной аналитической функцией, то и функция возведения в комплексную степень — многозначная.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — действительная часть (абсцисса) первого числа;

y₁ — мнимая часть (ордината) первого числа;

x₂ — действительная часть (абсцисса) второго числа;

y₂ — мнимая часть (ордината) второго числа;

x₁ + iy₁ — первое комплексное число — основание степени;

x₂ + iy₂ — второе комплексное число — показатель степени;

lnx — натуральный логарифм вещественного числа;

Ln(x + iy) — комплексный натуральный логарифм.

Формула

[math]\displaystyle{ (x_1+iy_1)^{(x_2+iy_2)}=e^{(x_2+iy_2)Ln(x_1+iy_1)} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow (x_1+iy_1)^{(x_2+iy_2)}=e^{(x_2+iy_2)\left[\ln\sqrt{x_1^2+y_1^2}+i\left(arctg\frac{y_1}{x_1}+2\pi n\right)\right]}, \ n \in \mathbb{Z} }[/math]

Примеры

[math]\displaystyle{ x^{iy}=e^{y(-2\pi n+i\ln x)}, \ x \gt 0, y \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ (-x)^{iy}=e^{y\left[(-(2n+1)\pi n+i\ln x)\right]}, \ x \gt 0, y \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ (iy)^x=e^{x\left(\ln y+\frac{4n+1}{2}\pi i\right)}, \ x \in \mathbb R, y \gt 0, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ (-iy)^x=e^{x\left(\ln y+\frac{4n-1}{2}\pi i\right)}, \ x \in \mathbb R, y \gt 0, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ (iy_1)^{iy_2}=e^{y_2\left(-\frac{4n+1}{2}\pi + i\ln y_1\right)}, \ y_1 \gt 0, y_2 \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ (-iy_1)^{iy_2}=e^{y_2\left(-\frac{4n-1}{2}\pi + i\ln y_1\right)}, \ y_1 \gt 0, y_2 \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ 1^i=e^{-2\pi n}, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ (-1)^i=e^{-(2n+1)\pi}, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ 1^{-i}=e^{2\pi n}, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ (-1)^{-i}=e^{(2n+1)\pi}, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ i^i=e^{-\frac{4n+1}{2}\pi}, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ (-i)^i=e^{-\frac{4n-1}{2}\pi}, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ i^{-i}=e^{\frac{4n+1}{2}\pi}, \ n \in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ (-i)^{-i}=e^{\frac{4n-1}{2}\pi}, \ n \in \mathbb Z }[/math]

Другие операции

• сложение чисел;
• вычитание чисел;
• умножение чисел;
• деление чисел;
• обращение числа;
• возведение в степень;
• извлечение квадратного корня;
• извлечение кубического корня;
• извлечение корня n-ой степени;
• логарифмирование числа;
• возведение в комплексную степень;
• взятие комплексно сопряжённого числа;
  • сложение комплексно сопряжённых чисел;
  • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
  • умножение комплексно сопряжённых чисел;
  • деление комплексно сопряжённых чисел;
  • обращение комплексно сопряжённого числа.

Другие понятия

• предел;
• производная;
• дифференциал;
• последовательность;
• ряд;
• интеграл;
• преобразование;
• экстремум;
• погрешность;
• комплексное число;
• вектор;
• матрица.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.623.