Возведение в комплексную степень комплексного числа

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Формула
✓ i^i. Комплексная степень / В интернете опять кто-то неправ #007 //

Возведение в комплексную степень комплексного числа — это обобщение операции возведения в степень для комплексных чисел .

Формула:

[math]\displaystyle{ (x_1+iy_1)^{(x_2+iy_2)}=e^{(x_2+iy_2)Ln(x_1+iy_1)}=e^{(x_2+iy_2)\left[\ln\sqrt{x_1^2+y_1^2}+i\left(arctg\frac{y_1}{x_1}+2\pi n\right)\right]} }[/math] [math]\displaystyle{ (n \in \mathbb{Z}) }[/math]

Так как определение опирается на логарифм комплексного числа, который является многозначной аналитической функцией, то и функция возведения в комплексную степень — многозначная.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — действительная часть (абсцисса) первого числа;

y1 — мнимая часть (ордината) первого числа;

x2 — действительная часть (абсцисса) второго числа;

y2 — мнимая часть (ордината) второго числа;

x1 + iy1 — первое комплексное число — основание степени;

x2 + iy2 — второе комплексное число — показатель степени;

lnx — натуральный логарифм вещественного числа;

Ln(x + iy) — комплексный натуральный логарифм.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ (x_1+iy_1)^{(x_2+iy_2)}=e^{(x_2+iy_2)Ln(x_1+iy_1)} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow (x_1+iy_1)^{(x_2+iy_2)}=e^{(x_2+iy_2)\left[\ln\sqrt{x_1^2+y_1^2}+i\left(arctg\frac{y_1}{x_1}+2\pi n\right)\right]}, \ n \in \mathbb{Z} }[/math]

Примеры[править]

[math]\displaystyle{ x^{iy}=e^{y(-2\pi n+i\ln x)}, \ x \gt 0, y \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ (-x)^{iy}=e^{y\left[(-(2n+1)\pi n+i\ln x)\right]}, \ x \gt 0, y \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ (iy)^x=e^{x\left(\ln y+\frac{4n+1}{2}\pi i\right)}, \ x \in \mathbb R, y \gt 0, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ (-iy)^x=e^{x\left(\ln y+\frac{4n-1}{2}\pi i\right)}, \ x \in \mathbb R, y \gt 0, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ (iy_1)^{iy_2}=e^{y_2\left(-\frac{4n+1}{2}\pi + i\ln y_1\right)}, \ y_1 \gt 0, y_2 \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ (-iy_1)^{iy_2}=e^{y_2\left(-\frac{4n-1}{2}\pi + i\ln y_1\right)}, \ y_1 \gt 0, y_2 \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ 1^i=e^{-2\pi n}, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ (-1)^i=e^{-(2n+1)\pi}, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ 1^{-i}=e^{2\pi n}, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ (-1)^{-i}=e^{(2n+1)\pi}, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ i^i=e^{-\frac{4n+1}{2}\pi}, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ (-i)^i=e^{-\frac{4n-1}{2}\pi}, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ i^{-i}=e^{\frac{4n+1}{2}\pi}, \ n \in \mathbb Z }[/math]
[math]\displaystyle{ (-i)^{-i}=e^{\frac{4n-1}{2}\pi}, \ n \in \mathbb Z }[/math]

Другие операции[править]

Другие понятия[править]

Литература[править]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.623.