Возведение в комплексную степень комплексного числа
Возведение в комплексную степень комплексного числа — это обобщение операции возведения в степень для комплексных чисел .
Формула:
- [math](x_1+iy_1)^{(x_2+iy_2)}=e^{(x_2+iy_2)Ln(x_1+iy_1)}=e^{(x_2+iy_2)\left[\ln\sqrt{x_1^2+y_1^2}+i\left(arctg\frac{y_1}{x_1}+2\pi n\right)\right]}[/math] [math](n \in \mathbb{Z})[/math]
Так как определение опирается на логарифм комплексного числа, который является многозначной аналитической функцией, то и функция возведения в комплексную степень — многозначная.
Содержание |
[править] Обозначения
Введём обозначения:
x1 — действительная часть (абсцисса) первого числа;
y1 — мнимая часть (ордината) первого числа;
x2 — действительная часть (абсцисса) второго числа;
y2 — мнимая часть (ордината) второго числа;
x1 + iy1 — первое комплексное число — основание степени;
x2 + iy2 — второе комплексное число — показатель степени;
lnx — натуральный логарифм вещественного числа;
Ln(x + iy) — комплексный натуральный логарифм.
[править] Формула
- [math](x_1+iy_1)^{(x_2+iy_2)}=e^{(x_2+iy_2)Ln(x_1+iy_1)} \Leftrightarrow[/math]
- [math]\Leftrightarrow (x_1+iy_1)^{(x_2+iy_2)}=e^{(x_2+iy_2)\left[\ln\sqrt{x_1^2+y_1^2}+i\left(arctg\frac{y_1}{x_1}+2\pi n\right)\right]}, \ n \in \mathbb{Z}[/math]
[править] Примеры
- [math]x^{iy}=e^{y(-2\pi n+i\ln x)}, \ x \gt 0, y \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math](-x)^{iy}=e^{y\left[(-(2n+1)\pi n+i\ln x)\right]}, \ x \gt 0, y \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math](iy)^x=e^{x\left(\ln y+\frac{4n+1}{2}\pi i\right)}, \ x \in \mathbb R, y \gt 0, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math](-iy)^x=e^{x\left(\ln y+\frac{4n-1}{2}\pi i\right)}, \ x \in \mathbb R, y \gt 0, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math](iy_1)^{iy_2}=e^{y_2\left(-\frac{4n+1}{2}\pi + i\ln y_1\right)}, \ y_1 \gt 0, y_2 \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math](-iy_1)^{iy_2}=e^{y_2\left(-\frac{4n-1}{2}\pi + i\ln y_1\right)}, \ y_1 \gt 0, y_2 \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math]1^i=e^{-2\pi n}, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math](-1)^i=e^{-(2n+1)\pi}, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math]1^{-i}=e^{2\pi n}, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math](-1)^{-i}=e^{(2n+1)\pi}, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math]i^i=e^{-\frac{4n+1}{2}\pi}, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math](-i)^i=e^{-\frac{4n-1}{2}\pi}, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math]i^{-i}=e^{\frac{4n+1}{2}\pi}, \ n \in \mathbb Z[/math]
- [math](-i)^{-i}=e^{\frac{4n-1}{2}\pi}, \ n \in \mathbb Z[/math]
[править] Другие операции
- сложение чисел;
- вычитание чисел;
- умножение чисел;
- деление чисел;
- обращение числа;
- возведение в степень;
- извлечение квадратного корня;
- извлечение кубического корня;
- извлечение корня n-ой степени;
- логарифмирование числа;
- возведение в комплексную степень;
- взятие комплексно сопряжённого числа;
[править] Другие понятия
- предел;
- производная;
- дифференциал;
- последовательность;
- ряд;
- интеграл;
- преобразование;
- экстремум;
- погрешность;
- комплексное число;
- вектор;
- матрица.
[править] Литература
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.623.