Возведение в комплексную степень комплексного числа

Формула

✓ i^i. Комплексная степень / В интернете опять кто-то неправ #007 //

Возведение в комплексную степень комплексного числа — это обобщение операции возведения в степень для комплексных чисел .

Так как определение опирается на логарифм комплексного числа, который является многозначной аналитической функцией, то и функция возведения в комплексную степень — многозначная.

Обозначения

x₁ — действительная часть (абсцисса) первого числа;

y₁ — мнимая часть (ордината) первого числа;

x₂ — действительная часть (абсцисса) второго числа;

y₂ — мнимая часть (ордината) второго числа;

x₁ + iy₁ — первое комплексное число — основание степени;

x₂ + iy₂ — второе комплексное число — показатель степени;

lnx — натуральный логарифм вещественного числа;

Ln(x + iy) — комплексный натуральный логарифм.

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x_1 + iy_1)^{(x_2 + iy_2)} = e^{(x_2 + iy_2)Ln(x_1 + iy_1)} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow (x_1 + iy_1)^{(x_2 + iy_2)} = e^{(x_2 + iy_2) \left[\ln \sqrt{x_1^2 + y_1^2} + i \left(arctg \frac{y_1}{x_1} + 2 \pi n \right) \right]}, \ n \in \mathbb{Z}}

Примеры

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^{iy} = e^{y(-2 \pi n + i \ln x)}, \ x > 0, y \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-x)^{iy} = e^{y \left[(-(2n + 1) \pi n + i \ln x) \right]}, \ x > 0, y \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (iy)^x = e^{x \left(\ln y + \frac{4n + 1}{2} \pi i \right)}, \ x \in \mathbb R, y > 0, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-iy)^x = e^{x \left(\ln y + \frac{4n - 1}{2} \pi i \right)}, \ x \in \mathbb R, y > 0, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (iy_1)^{iy_2} = e^{y_2 \left(- \frac{4n + 1}{2} \pi + i \ln y_1 \right)}, \ y_1 > 0, y_2 \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-iy_1)^{iy_2} = e^{y_2 \left(- \frac{4n - 1}{2} \pi + i \ln y_1 \right)}, \ y_1 > 0, y_2 \in \mathbb R, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1^i = e^{-2 \pi n}, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-1)^i = e^{-(2n + 1) \pi}, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1^{-i} = e^{2 \pi n}, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-1)^{-i} = e^{(2n + 1) \pi}, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i^i = e^{- \frac{4n + 1}{2} \pi}, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-i)^i = e^{- \frac{4n - 1}{2} \pi}, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i^{-i} = e^{ \frac{4n + 1}{2} \pi}, \ n \in \mathbb Z }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-i)^{-i} = e^{ \frac{4n - 1}{2} \pi}, \ n \in \mathbb Z }

Другие операции

1. сложение чисел;
2. вычитание чисел;
3. умножение чисел;
4. деление чисел;
5. обращение числа;
6. возведение в степень;
7. извлечение квадратного корня;
8. извлечение кубического корня;
9. извлечение корня n-ой степени;
10. логарифмирование числа;
11. возведение в комплексную степень;
12. тригонометрические функции комплексных чисел;
13. гиперболические функции комплексных чисел;
14. взятие комплексно сопряжённого числа;
    • сложение комплексно сопряжённых чисел;
    • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
    • умножение комплексно сопряжённых чисел;
    • деление комплексно сопряжённых чисел;
    • обращение комплексно сопряжённого числа.

Другие понятия

1. число;
2. формулы;
3. неравенства;
4. погрешность;
5. предел;
6. производная;
7. дифференциал;
8. последовательность;
9. суммы;
10. ряд;
11. признак сходимости;
12. интеграл;
13. преобразование;
14. экстремум;
15. вектор;
16. матрица;
17. функции;
18. уравнения;
19. дифференциальные уравнения;
20. теоремы.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.623.