Обращение комплексно сопряжённого числа

Обращение комплексно сопряжённого числа — это взятие обратного к комплексно сопряженному числу (от заданного комплексного числа). Обратное к комплексно сопряженному равно исходному комплексному числу, делённому на квадрат модуля исходного числа.

Обозначения

Введём обозначения:

x — действительная часть (абсцисса) комплексно сопряжённых чисел;

y — мнимая часть (ордината) первого числа;

−y — мнимая часть (ордината) второго числа;

r — модуль комплексно сопряжённых чисел;

φ — аргумент первого числа;

−φ — аргумент второго числа;

x + iy — первое комплексно сопряжённое число;

x − iy — второе комплексно сопряжённое число.

Формулы:

[math]\frac{1}{x-iy}=\frac{x}{x^2+y^2}+i\frac{y}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{1}{x-iy}=\frac{x+iy}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{1}{x-iy}=\frac{x+iy}{|x+iy|^2} \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow \frac{1}{\overline {x+iy}}=\frac{x}{x^2+y^2}+i\frac{y}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{1}{\overline {x+iy}}=\frac{x+iy}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{1}{\overline {x+iy}}=\frac{x+iy}{|x+iy|^2} \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow \frac{1}{r(\cos\varphi-i\sin\varphi)}=\frac{1}{r}(\cos\varphi+i\sin\varphi), \ r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \varphi=arctg\frac{y}{x}[/math]

Другие операции:

• сложение чисел;
• вычитание чисел;
• умножение чисел;
• деление чисел;
• обращение числа;
• возведение в степень;
• извлечение квадратного корня;
• извлечение кубического корня;
• извлечение корня n-ой степени;
• логарифмирование числа;
• возведение в комплексную степень;
• взятие комплексно сопряжённого числа;
  • сложение комплексно сопряжённых чисел;
  • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
  • умножение комплексно сопряжённых чисел;
  • деление комплексно сопряжённых чисел;
  • обращение комплексно сопряжённого числа.