Числа Фибоначчи
Числа Фибоначчи — линейная рекуррентная последовательность натуральных чисел, где первое и второе равно единице, а каждое последующее — сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … ad infinitum.
Числа Фибоначчи проявляются в живых формах: например, числа левозакрученных и правозакрученных спиралей, вдоль которых располагаются семена подсолнуха. Аналогичные закономерности выявляются при изучении шишек и лепестков некоторых цветков.
Были известны в Индии в VIII—XII веках. В Европе введены в 1202 году как математическая модель приплода в животной популяции.
Свойства
В замкнутом виде n-ное число Фибоначчи , где — золотая пропорция. Эта формула Бине найдена де Муавром и может быть получена из общего метода нахождения подобных формул через корни характеристического уравнения, каковое для последовательности {Fn} имеет вид , с корнями и .
Из формулы Бине следует, что при увеличении числа Фибоначчи растут со скоростью геометрической прогрессии: справедлива асимптотическая формула при
История
Числа Фибоначчи были известны в Индии в трудах математиков VIII—XII веков и применялись там в стихосложении.
В Западной Европе последовательность введена в 1202 году в «Книге абака» (Liber Abaci), автор Леонард Пизанский, сын Боначчо (filius Bonaccii, Фибоначчи). Там он предлагает модель роста популяции кроликов: имеется одна новорожденная пара кроликов, которая начинает давать приплод в одну пару кроликов в каждый месяц, начиная со второго месяца. Так же размножаются и вновь родившиеся кролики, порождая новую пару кроликов каждый месяц, начиная со второго, с момента своего рождения. Задача: сколько пар кроликов будет к концу года (считается, что кролики не умирают). Оказывается, что в конце -го месяца число пар кроликов задается числом . В конце года будет пары кроликов.
Кеплер в письме Strena Seu de Nive Sexangula[1] вывел .
Название «ряд Фибоначчи» (la série de Fibonacci) введено в работе Эдуарда Люка от 1877 года Recherches sur plusieuers ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d'arithmétique supérieuer.