Делимость
Делимость n на m — понятие алгебры, заключающееся в существовании такого k, что k ≠ 0 и умножение m на k даёт n. Обычно имеются в виду целые числа n, m и k, в каком случае говорится о делимости нацело. Но понятие применимо ко многочленам и, в полной общности, к элементам любого кольца.
Обозначения и терминология[править]
n⋮m — «n делится на m».
m|n — «m делит n», «m является делителем n».
Формальная запись суждения о делимости в кольце K:
∃k ∊ K: m k = n.
Свойства[править]
Ноль делит только себя: 0|n ⇒ n = 0.
Число (элемент), противоположное делителю, также является делителем: m|n ⇒ −m | n.
Два вышеуказанных свойства показывают, что при исследовании делимости нацело достаточно ограничиться натуральными m.
Делители n делят также любое (ненулевое) кратное n (включая −n): m|n ⇒ m | n c.[1]
Единица делит всё, кроме нуля: n ≠ 0 ⇒ 1|n, n⋮1.
Всякий элемент делит себя: n|n, n⋮n. Числа (элементы) n, 1, −1 и −n называются тривиальными делителями числа (элемента) n.
Делимость нуля[править]
Ноль делится нацело лишь собой. Коммутативные кольца, в которых лишь 0 делит ноль, называются областями целостности. В произвольных кольцах возможны (ненулевые) делители нуля.
Иногда ситуация n = 0 вовсе выводится из рассмотрения; тогда и не обязательно требовать k ≠ 0, поскольку нулевое k повлекло бы нулевое произведение. Это приводит к упрощению некоторых рассуждений; в частности, отношение делимости становится отношением нестрогого частичного порядка.
Примеры[править]
Делители (натуральные) числа 10: 1, 2, 5, 10. Аналогично, делители произведения p q двух различных простых чисел: 1, p, q, p q.
Делители (натуральные) числа pr, где p просто и r натурально: ps (где s — целые числа от 0 до r включительно), и только они.
Нетривиальные делители (нацело) натурального числа n — делители нуля в кольце вычетов по модулю n.
Делимость и деление[править]
Результат деления, частное n/m — по определению, такое k, что m k = n. В полях (и, шире, алгебрах с делением) частное определено для любых n и m ≠ 0. Это приводит к тому, что все ненулевые элементы поля (алгебры с делением) делятся друг на друга.
См. также[править]
Примечания[править]
- ↑ где c ≠ 0 — произвольный элемент кольца.