Показательная функция

Не следует путать с степенная функция.

Показательная функция — функция возведения константы в степень переменной.

Принципиально отличается от степенной функции тем, что в последней основанием, наоборот, является переменная, а в показателем — константа.

Экспонента

Экспонента в русскоязычной среде в математическом анализе обычно понимается как синоним показательной функций по числу Эйлера. Однако в информатике в представлении чисел с плавающим десятичным разделителем под экспонентой понимается любая показательная функция, основание которой является основанием такой-то системы счисления, а показатель характеризует то, на сколько разрядов нужно сдвинуть мантиссу, чтобы получить исходное число. В англоязычных ресурсах экспоненту иногда могут отождествлять к показательной функцией по совершенно любому основанию. Тогда экспоненту по числу e называют натуральной.

В данном статье договоримся экспоненту и показательную функцию считать синонимами.

Обратная функция

Функцией, обратной к экспоненте, является логарифм. При основании e логарифм (по аналогии с экспонентой) называется натуральным.

В комплексном поле натуральный логарифм, как можно заметить из формулы Эйлера, является многозначным с периодом τi.

Свойства

Производная

Одно из замечательных свойств экспонент заключается в том, что они прямо пропорциональны своим же производным. Даже не прибегая к натуральной экспоненте, это можно понять следующим способом. Дело в том, что при фиксированном Δx приращение Δa^x оказывается прямо пропорционально a^x:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta a^x \propto a^x.}

Таким образом,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\Delta a^x}{\Delta x} \underset{\Delta x = \text{const}}{\propto} a^x,}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a^x)' \underset{\Delta x = \text{const}}{\propto} a^x.}

Число Эйлера. А для того, чтобы вывести число Эйлера, при котором экспонента вообще равна своей производной, можно заметить, что дифференциальное уравнение

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a^x)' = a^x}

можно раскрыть как

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\Delta a^x}{\Delta x} + E(x,\Delta x) = a^x,}

где E — некоторая функция такая, что

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}E(x,\Delta x) = 0.}

Далее можно переписать как

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta a^x + E\Delta x = a^x\Delta x,}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^x(a^{\Delta x} - 1) + E\Delta x = a^x\Delta x,}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a^{\Delta x} - 1) + E_1\Delta x = \Delta x,}

где функция E₁ обладает ровно тем же свойством, что и E. Тогда

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = (1 + \Delta x(1 + E_1))^\frac1{\Delta x},}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = \lim_{\Delta x\to 0}(1 + \Delta x(1 + E_1))^\frac1{\Delta x},}

где, как можно доказать, E₁ — пренебрежимо малое число:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = \lim_{\Delta x\to 0}(1 + \Delta x)^\frac1{\Delta x}.}

Интеграл

Первообразная экспоненты:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int a^x dx = \frac1{\ln a}\int e^{x\ln a}d(x\ln a) = \frac{e^{x\ln a}}{\ln a} + C = \frac{a^x}{\ln a} + C,}

где ln — логарифм по основанию e.

Для комплексного случая

Отдельно для случая, когда рассматривается комплексная функция.

• Комплексная экспонента является целой, аналитической, голоморфной.
• Экспонента обладает периодом. В частности, натуральная экспонента имеет период τi.

Вещественная функция

Объяснение Трушина

Вещественная экспонента по вещественному основанию считается определённой только для положительного основания. Во многих источниках вещественную степень от отрицательного основания называют неопределённой. В некоторых ресурсах это обосновывают тем, что не для всех вещественных и даже не для всех рациональных чисел таковое имеет смысл. Например, выражение

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^{1/2} = \sqrt[2]a}

не имеет смысла в отрицательных числах. Однако, по мнению ютубера Бориса Трушина, причина оказывается более глубокой, чем кажется: дело в том, что (даже ещё до дойдя до вещественного показателя в общем случае) мы хотим относиться к рациональному показателю m/n, где m, n — целые числа, как с целостному объекту, не членить его на m и n, и, таким образом, определение показательной функции не должно меняться от того, возьмём ли мы в качестве дроби m/n выражения вида 2m/(2n), 3m/(3n), −4m/(−4n) и так далее. И в этом есть серьёзная проблема, которая начинается, если брать отрицательное основание:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -1 = \sqrt[3]{-1} = (-1)^{1/3} = (-1)^{2/6} = \sqrt[6]{(-1)^2} = \sqrt[6]1 = 1.}

Справедливости ради, при такой трактовке отрицательное основание будет запрещено, даже если показатель целый. Тогда можно считать, что данное определение пригодно только для нецелых рациональных показателей.

А что касается вещественного основания в общем случае, то там берётся предел последовательности из экспонент, показатели которых рациональны. И здесь основание тем более нельзя брать отрицательным. В итоге в пределе показатель устремится в требуемому вещественному значению. Например,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2^{\sqrt5}}

можно понимать как предел последовательности двоичных экспонент от следующих цепных дробей:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2,\quad 2+\frac14,\quad 2+\frac1{4+\frac1{4+\frac14}},\quad 2+\frac1{4+\frac1{4+\frac1{4+\frac1{4+\frac14}}}},\quad\dots}

Комплексная функция

Файл:Complex exp.jpg

В силу того, что корень — многозначная операция, в комплексном анализе выделяют главную ветвь экспоненты, с которой в комплексном анализе обычно и имеют дело. Для того, чтобы к этому определению прийти, заметим, что при целых z для числа Эйлера верна теорема:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^z = \lim_{\overset{n\to\infty}{n\in\mathbb Z}}(1 + 1/n)^{zn} = \lim_{\overset{n\to\infty}{n\in\mathbb Z}}(1 + z/{zn})^{zn} = \lim_{\overset{n\to\infty}{n\in\mathbb Z}}(1 + z/n)^n.}

Обобщив это равенство на любой комплексный показатель, и получаем определение главной ветви натуральной экспоненты. Можно показать, что этот предел существует и что данная функция действительно всегда является экспонентой.

Для любого комплексного основания a возведение в степень комплексного z определяется с помощью обобщения свойства умножения показателей следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^z = e^{(\log_ea)z}.}

Отдельно можно отметить, что данное выше определение натуральной экспоненты можно представить в виде ряда Тейлора — Маклорена как

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}.}

Выводится это, например, через бином Ньютона.