Показательная функция

Не следует путать с степенная функция.

Показательная функция — это функция возведения константы в степень переменной.

Принципиально отличается от степенной функции тем, что в последней основанием, наоборот, является переменная, а в показателем — константа.

Экспонента

Экспонента в русскоязычной среде в математическом анализе обычно понимается как синоним показательной функций по числу Эйлера. Однако в информатике в представлении чисел с плавающим десятичным разделителем под экспонентой понимается любая показательная функция, основание которой является основанием такой-то системы счисления, а показатель характеризует то, на сколько разрядов нужно сдвинуть мантиссу, чтобы получить исходное число. В англоязычных ресурсах экспоненту иногда могут отождествлять к показательной функцией по совершенно любому основанию. Тогда экспоненту по числу e называют натуральной.

В данном статье договоримся экспоненту и показательную функцию считать синонимами.

Обратная функция

Функцией, обратной к экспоненте, является логарифм. При основании e логарифм (по аналогии с экспонентой) называется натуральным.

В комплексном поле натуральный логарифм, как можно заметить из формулы Эйлера, является многозначным с периодом τi.

Свойства

Производная

Одно из замечательных свойств экспонент заключается в том, что они прямо пропорциональны своим же производным. Даже не прибегая к натуральной экспоненте, это можно понять следующим способом. Дело в том, что при фиксированном Δx приращение Δa^x оказывается прямо пропорционально a^x:

$\Delta a^{x}\propto a^{x}.$

Таким образом,

${\frac {\Delta a^{x}}{\Delta x}}{\underset {\Delta x={\text{const}}}{\propto }}a^{x},$

$(a^{x})'{\underset {\Delta x={\text{const}}}{\propto }}a^{x}.$

Число Эйлера. А для того, чтобы вывести число Эйлера, при котором экспонента вообще равна своей производной, можно заметить, что дифференциальное уравнение

$(a^{x})'=a^{x}$

можно раскрыть как

${\frac {\Delta a^{x}}{\Delta x}}+E(x,\Delta x)=a^{x},$

где E — некоторая функция такая, что

$\lim _{\Delta x\to 0}E(x,\Delta x)=0.$

Далее можно переписать как

$\Delta a^{x}+E\Delta x=a^{x}\Delta x,$

$a^{x}(a^{\Delta x}-1)+E\Delta x=a^{x}\Delta x,$

$(a^{\Delta x}-1)+E_{1}\Delta x=\Delta x,$

где функция E₁ обладает ровно тем же свойством, что и E. Тогда

$a=(1+\Delta x(1+E_{1}))^{\frac {1}{\Delta x}},$

$a=\lim _{\Delta x\to 0}(1+\Delta x(1+E_{1}))^{\frac {1}{\Delta x}},$

где, как можно доказать, E₁ — пренебрежимо малое число:

$a=\lim _{\Delta x\to 0}(1+\Delta x)^{\frac {1}{\Delta x}}.$

Интеграл

Первообразная экспоненты:

$\int a^{x}dx={\frac {1}{\ln a}}\int e^{x\ln a}d(x\ln a)={\frac {e^{x\ln a}}{\ln a}}+C={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,$

где ln — логарифм по основанию e.

Для комплексного случая

Отдельно для случая, когда рассматривается комплексная функция.

• Комплексная экспонента является целой, аналитической, голоморфной.
• Экспонента обладает периодом. В частности, натуральная экспонента имеет период τi.

Вещественная функция

Объяснение Трушина

Вещественная экспонента по вещественному основанию считается определённой только для положительного основания. Во многих источниках вещественную степень от отрицательного основания называют неопределённой. В некоторых ресурсах это обосновывают тем, что не для всех вещественных и даже не для всех рациональных чисел таковое имеет смысл. Например, выражение

$a^{1/2}={\sqrt[{2}]{a}}$

не имеет смысла в отрицательных числах. Однако, по мнению ютубера Бориса Трушина, причина оказывается более глубокой, чем кажется: дело в том, что (даже ещё до дойдя до вещественного показателя в общем случае) мы хотим относиться к рациональному показателю m/n, где m, n — целые числа, как с целостному объекту, не членить его на m и n, и, таким образом, определение показательной функции не должно меняться от того, возьмём ли мы в качестве дроби m/n выражения вида 2m/(2n), 3m/(3n), −4m/(−4n) и так далее. И в этом есть серьёзная проблема, которая начинается, если брать отрицательное основание:

$-1={\sqrt[{3}]{-1}}=(-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}={\sqrt[{6}]{(-1)^{2}}}={\sqrt[{6}]{1}}=1.$

Справедливости ради, при такой трактовке отрицательное основание будет запрещено, даже если показатель целый. Тогда можно считать, что данное определение пригодно только для нецелых рациональных показателей.

А что касается вещественного основания в общем случае, то там берётся предел последовательности из экспонент, показатели которых рациональны. И здесь основание тем более нельзя брать отрицательным. В итоге в пределе показатель устремится в требуемому вещественному значению. Например,

$2^{\sqrt {5}}$

можно понимать как предел последовательности двоичных экспонент от следующих цепных дробей:

$2,\quad 2+{\frac {1}{4}},\quad 2+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4}}}}}},\quad 2+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4}}}}}}}}}},\quad \dots$

Комплексная функция

В силу того, что корень — многозначная операция, в комплексном анализе выделяют главную ветвь экспоненты, с которой в комплексном анализе обычно и имеют дело. Для того, чтобы к этому определению прийти, заметим, что при целых z для числа Эйлера верна теорема:

$e^{z}=\lim _{\overset {n\to \infty }{n\in \mathbb {Z} }}(1+1/n)^{zn}=\lim _{\overset {n\to \infty }{n\in \mathbb {Z} }}(1+z/{zn})^{zn}=\lim _{\overset {n\to \infty }{n\in \mathbb {Z} }}(1+z/n)^{n}.$

Обобщив это равенство на любой комплексный показатель, и получаем определение главной ветви натуральной экспоненты. Можно показать, что этот предел существует и что данная функция действительно всегда является экспонентой.

Для любого комплексного основания a возведение в степень комплексного z определяется с помощью обобщения свойства умножения показателей следующим образом:

$a^{z}=e^{(\log _{e}a)z}.$

Отдельно можно отметить, что данное выше определение натуральной экспоненты можно представить в виде ряда Тейлора — Маклорена как

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Выводится это, например, через бином Ньютона.