Предикат

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Информатика. Алгебра логики: Предикаты. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» [5:16]
Лекция 13: Логика предикатов // НОУ ИНТУИТ [11:50]

Предикаты — это предложения, высказывания, соотношения, выражения, функции, относительно которых при заданных аргументах, можно сказать, истинны они или ложны, т.е. они принимают значения из множества {0,1}.

Предикаты обозначаются прописными буквами с перечнем аргументов в скобках (как у функции). Набор аргументов определяется на произвольных множествах. Аргументы обозначаются строчными буквами

Содержание

[править] Виды предикатов:

  • тождественно-истинный;
  • тождественно-ложный;
  • выполнимый.

Предикат называют тождественно-истинным (тавтологией), если на любом наборе аргументов он принимает значение 1.

Предикат называют тождественно-ложным (противоречием), если на любом наборе аргументов он принимает значение 0.

Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.

Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все логические операции булевой алгебры.

[править] Виды операций:

  • логические операции;
  • кванторные операции.

[править] Логические операции:

  • отрицание;
  • дизъюнкция;
  • конъюнкция;
  • импликация.

Отрицанием предиката A(x) называется новый предикат C(x), который принимает значение истина при всех значениях x из заданного множества, при которых предикат A(x) принимает значение ложь, и принимает значение ложь, если A(x) принимает значение истина.

Дизъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат C(x), который принимает значение ложь при тех и только тех значениях x из заданного множества, при которых каждый из предикатов принимает значение ложь и принимает значение истина во всех остальных случаях. Областью истинности предиката C(x) является объединение областей истинности предикатов A(x) и B(x).

Конъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат C(x), который принимает значение истина при тех и только тех значениях х из заданного множества, при которых каждый из предикатов принимает значение истина, и принимает значение ложь во всех остальных случаях. Областью истинности предиката C(x) является пересечение областей истинности предикатов A(x) и B(x).

Импликацией предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат C(x), который является ложным при тех и только тех значениях х из заданного множества, при которых A(x) принимает значение истина, а B(x) — значение ложь, и принимает значение истина во всех остальных случаях.

[править] Кванторные операции:

  • квантор общности;
  • квантор существования.

Квантором общности называется операция, по которой предикату A(x) ставится в соответствие высказывание, обозначаемое ЛП01.JPG, которое истинно тогда и только тогда, когда предикат A(x) тождественно истинен.

Высказывание ЛП01.JPG читается: «Для любого х справедливо A(x)».

Квантором существования называется операция, по которой предикату A(x) ставится в соответствие высказывание, обозначаемое ЛП02.JPG, которое ложно тогда и только тогда, когда предикат A(x) тождественно ложен.

Высказывание ЛП02.JPG читается: «Существует такое х (хотя бы одно), что справедливо A(x)».

[править] Формы предикатов:

  • приведённая нормальная форма;
  • предварённая нормальная форма.

[править] Приведённая нормальная форма

ПНФ01.JPG

[править] Предварённая нормальная форма

ПНФ02.JPG

[править] Свойства предикатов

Если предикат A(x) определён на множестве, состоящем из конечного числа элементов x1, x2, …, xn, то квантор общности можно трактовать как конъюнкцию всех возможных из него высказываний, а квантор существования – как дизъюнкцию этих высказываний.

ЛП10.JPG

Отсюда, применяя отрицание, получаем эквиваленции:

ЛП11.JPG

ЛП12.JPG

ЛП13.JPG

[править] Другие понятия:

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты