Логический закон

Алгебра логики: Законы алгебры логики. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» [13:03]

Логический закон — это формула из логических выражений в виде равенства, принимающая только истинное значение при любых значениях переменных.

Логический закон является тождественно-истинным предикатом, определённым на множестве {0,1}.

Виды логических законов:

Основные законы:

$x_{1}=x_{1}$ — закон тождества

$x_{1}\lor {\bar {x}}_{1}=1$ — закон исключённого третьего

$x_{1}\land {\bar {x}}_{1}=0$ — закон непротиворечия

Аксиомы:

$x_{1}\lor 0=x_{1}$ — дизъюнкция с константой 0

$x_{1}\lor 1=1$ — дизъюнкция с константой 1

$x_{1}\land 0=0$ — конъюнкция с константой 0

$x_{1}\land 1=x_{1}$ — конъюнкция с константой 1

$x_{1}\lor x_{1}=x_{1}$ — идемпотентность (независимость от повторения) дизъюнкции

$x_{1}\land x_{1}=x_{1}$ — идемпотентность (независимость от повторения) конъюнкции

$x_{1}\lor x_{2}=x_{2}\lor x_{1}$ — коммутативность (переместительность) дизъюнкции

$x_{1}\land x_{2}=x_{2}\land x_{1}$ — коммутативность (переместительность) конъюнкции

$(x_{1}\lor x_{2})\lor x_{3}=x_{1}\lor (x_{2}\lor x_{3})$ — ассоциативность (сочетательность) дизъюнкции

$(x_{1}\land x_{2})\land x_{3}=x_{1}\land (x_{2}\land x_{3})$ — ассоциативность (сочетательность) конъюнкции

$x_{1}\lor (x_{2}\land x_{3})=(x_{1}\lor x_{2})\land (x_{1}\lor x_{3})$ — дистрибутивность (распределительность) дизъюнкции относительно конъюнкции

$x_{1}\land (x_{2}\lor x_{3})=(x_{1}\land x_{2})\lor (x_{1}\land x_{3})$ — дистрибутивность (распределительность) конъюнкции относительно дизъюнкции

Дополнительные законы:

${\overline {\overline {x}}}_{1}=x_{1}$ — закон двойного отрицания

${\overline {x_{1}\lor x_{2}}}={\bar {x}}_{1}\land {\bar {x}}_{2}$ — закон де Моргана отрицания дизъюнкции

${\overline {x_{1}\land x_{2}}}={\bar {x}}_{1}\lor {\bar {x}}_{2}$ — закон де Моргана отрицания конъюнкции

$x_{1}\lor (x_{1}\land x_{2})=x_{1}$ — закон поглощения конъюнкции

$x_{1}\land (x_{1}\lor x_{2})=x_{1}$ — закон поглощения дизъюнкции

$(x_{1}\land x_{2})\lor (x_{1}\land {\bar {x}}_{2})=x_{1}$ — закон склеивания конъюнкций

$(x_{1}\lor x_{2})\land (x_{1}\lor {\bar {x}}_{2})=x_{1}$ — закон склеивания дизъюнкций

Эквиваленции:

$x_{1}\rightarrow x_{2}={\bar {x}}_{1}\lor x_{2}$ — формула импликации

$x_{1}\leftarrow x_{2}=x_{1}\lor {\bar {x}}_{2}$ — формула обратной импликации

$x_{1}\downarrow x_{2}={\bar {x}}_{1}\land {\bar {x}}_{2}$ — формула стрелки Пирса

$x_{1}|x_{2}={\bar {x}}_{1}\lor {\bar {x}}_{2}$ — формула штриха Шеффера

$x_{1}\leftrightarrow x_{2}=(x_{1}\land x_{2})\lor ({\bar {x}}_{1}\land {\bar {x}}_{2})$ — дизъюнктивная формула эквивалентности

$x_{1}\leftrightarrow x_{2}=({\bar {x}}_{1}\lor x_{2})\land (x_{1}\lor {\bar {x}}_{2})$ — конъюнктивная формула эквивалентности

$x_{1}{\underline {\lor }}x_{2}=({\bar {x}}_{1}\land x_{2})\lor (x_{1}\land {\bar {x}}_{2})$ — дизъюнктивная формула разделительной дизъюнкции

$x_{1}{\underline {\lor }}x_{2}=(x_{1}\lor x_{2})\land ({\bar {x}}_{1}\lor {\bar {x}}_{2})$ — конъюнктивная формула разделительной дизъюнкции

${\overline {x_{1}\lor x_{2}}}=x_{1}\downarrow x_{2}$ — отрицание дизъюнкции

${\overline {x_{1}\land x_{2}}}=x_{1}|x_{2}$ — отрицание конъюнкции

${\overline {x_{1}\rightarrow x_{2}}}=x_{1}\land {\bar {x}}_{2}$ — отрицание импликации

${\overline {x_{1}\leftarrow x_{2}}}={\bar {x}}_{1}\land x_{2}$ — отрицание обратной импликации

${\overline {x_{1}\downarrow x_{2}}}=x_{1}\lor x_{2}$ — отрицание стрелки Пирса

${\overline {x_{1}|x_{2}}}=x_{1}\land x_{2}$ — отрицание штриха Шеффера

${\overline {x_{1}\leftrightarrow x_{2}}}=x_{1}{\underline {\lor }}x_{2}$ — отрицание эквивалентности

${\overline {x_{1}{\underline {\lor }}x_{2}}}=x_{1}\leftrightarrow x_{2}$ — отрицание разделительной дизъюнкции

Другие понятия:

1. Логический закон;
2. Логические функции:
   1. отрицание;
   2. дизъюнкция;
   3. конъюнкция;
   4. разделительная дизъюнкция;
   5. импликация;
   6. обратная импликация;
   7. эквиваленция;
   8. стрелка Пирса;
   9. штрих Шеффера;
   10. полином Жегалкина;
3. Нормальные формы:
   1. совершенная дизъюнктивная нормальная форма;
   2. совершенная конъюнктивная нормальная форма;
   3. минимальная дизъюнктивная нормальная форма;
   4. минимальная конъюнктивная нормальная форма;
   5. алгебраическая нормальная форма;
4. Таблица истинности;
5. Карта Карно;
6. Трёхмерная карта Карно;
7. Предикат;
8. Секвенции;
9. Суждение;
10. Умозаключения:
    1. превращения;
    2. обращения;
    3. противопоставления предикату;
    4. противопоставления субъекту;
    5. чисто условные;
11. силогизмы:
    1. условно-категорические;
    2. разделительно-категорические;
    3. эквивалентно-категорические.