Карта Карно

Лекция 80. Карта Карно // Электротехника и электроника для программистов [9:41]

Карта Карно — таблица истинности определённого вида для логической функции.

Была предложена в 1952 г. американским учёным Эдвардом В. Вейчем и усовершенствована в 1953 году американским физиком Морисом Карно.

Карты Карно используются для минимизации нормальной формы булевых функций, т.е. для построения МДНФ и МКНФ.

Виды карт Карно:

Для функции двух переменных

Для функции трёх переменных

Для функции четырёх переменных

• Заметим, что в картах Карно наборы аргументов в соседних строках и столбцах (включая первые и последние) отличаются значением одного аргумента.
• Для функций пяти и шести аргументов можно применять трёхмерную карту Карно.

Примеры использования карт Карно:

Функция двух переменных

$f(x_{1},x_{2})=(0110)$

Строим карту Карно для функции двух переменных

Построение МДНФ

Покрываем единицы карты Карно наименьшим числом прямоугольников со сторонами длиной 2ⁿ.

Единицы карты Карно минимально покрываются двумя прямоугольниками вида 1х1, что соответствует двум элементарным конъюнкциям двух аргументов.

$P_{1}(x_{1},x_{2})=\{(1,2)\}$

$P_{2}(x_{1},x_{2})=\{(2,1)\}$

$f_{\text{МДНФ}}(x_{1},x_{2})=\left({\bar {x}}_{1}\land x_{2}\right)\lor \left(x_{1}\land {\bar {x}}_{2}\right)$

Построение МКНФ

Покрываем нули карты Карно наименьшим числом прямоугольников со сторонами длиной 2ⁿ.

Нули карты Карно минимально покрываются двумя прямоугольниками вида 1х1, что соответствует двум элементарным дизъюнкциям двух аргументов.

$P_{1}(x_{1},x_{2})=\{(1,1)\}$

$P_{2}(x_{1},x_{2})=\{(2,2)\}$

$f_{\text{КДНФ}}(x_{1},x_{2})=\left(x_{1}\lor x_{2}\right)\land \left({\bar {x}}_{1}\lor {\bar {x}}_{2}\right)$

Функция трёх переменных

$f(x_{1},x_{2},x_{3})=(01001101)$

Строим карту Карно для функции трёх переменных

Построение МДНФ

Покрываем единицы карты Карно наименьшим числом прямоугольников со сторонами длиной 2ⁿ.

Единицы карты Карно минимально покрываются одним прямоугольником вида 1х2 и двумя прямоугольниками вида 2х1, что соответствует трём элементарным конъюнкциям двух аргументов. Заметим, что два неполных прямоугольника вида 2х1 соответствуют одному полному прямоугольнику покрытия.

Построение МКНФ

Покрываем нули карты Карно наименьшим числом прямоугольников со сторонами длиной 2ⁿ.

Нули карты Карно минимально покрываются одним прямоугольником вида 1х2 и двумя прямоугольниками вида 2х1, что соответствует трём элементарным дизъюнкциям двух аргументов.

Функция четырёх переменных

Строим карту Карно для функции четырёх переменных

Построение МДНФ

Покрываем единицы карты Карно наименьшим числом прямоугольников со сторонами длиной 2ⁿ.

Единицы карты Карно минимально покрываются тремя квадратами вида 2х2, что соответствует трём элементарным конъюнкциям двух аргументов. Заметим, что четыре угловых неполных квадрата соответствуют одному полному квадрату покрытия.

Построение МКНФ

Покрываем нули карты Карно наименьшим числом прямоугольников со сторонами длиной 2ⁿ.

Нули карты Карно минимально покрываются одним квадратом вида 2х2, одним прямоугольником вида 1х4 и одним прямоугольником вида 2х1, что соответствует трём элементарным дизъюнкциям, в двух из которых два аргумента, а в одной три аргумента.

Другие понятия

• Логический закон;
• Логические функции:

1. отрицание;
2. дизъюнкция;
3. конъюнкция;
4. разделительная дизъюнкция;
5. импликация;
6. обратная импликация;
7. эквиваленция;
8. стрелка Пирса;
9. штрих Шеффера;
10. полином Жегалкина;

• Нормальные формы:

1. совершенная дизъюнктивная нормальная форма;
2. совершенная конъюнктивная нормальная форма;
3. минимальная дизъюнктивная нормальная форма;
4. минимальная конъюнктивная нормальная форма;
5. алгебраическая нормальная форма;

• Таблица истинности;
• Карта Карно;
• Трёхмерная карта Карно;
• Предикат;
• Секвенции;
• Суждение;
• Умозаключения:

1. превращения;
2. обращения;
3. противопоставления предикату;
4. противопоставления субъекту;
5. чисто условные;
6. силогизмы;
7. условно-категорические;
8. разделительно-категорические;
9. эквивалентно-категорические.

Ссылки

• Участник:Logic-samara