Множество

Материал из Циклопедии
(перенаправлено с «Конечное множество»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Теория множеств: способы задания множеств, конечные и бесконечные множества // Merera Ru [4:08]
Множества — Принципы математического мышления // Маткульт-привет! Алексей Савватеев и Ко [20:46]

Множество, в логике — объект, подчинённый аксиомам той или иной теории множеств, так или иначе соответствующей интуициям о наборах (неупорядоченных скоплениях, наборах, связках) произвольных различимых объектов — причём их может быть не только «много» (или даже неисчислимо, бесконечно много), но также и мало — вплоть до двух, одного и нуля.

Множество оказывается естественным средством для задач само́й логики, в частности, — для обоснования преобладающего большинства дисциплин математики и прочей формальной науки: с его помощью можно строить чи́сла, последовательности, комбинации, гра́фы, доказательства, пространства, категории, машины и всевозможные иные математические объекты.

Теория множеств[править]

Повседневному смыслу о некотором множестве вещей (уникальных объектов, событий) в теории множеств соответствуют конечные множества урэлементов, атомов, — то есть, элементов, не являющихся, в свою очередь, множествами. В контраст с этим, история теории множеств началась в работах Больцано и Кантора с рассуждений о бесконечных множествах объектов, таких, как «все» натуральные числа или даже «все» вещественные числа .

Подобно тому, как понятие натуральное число логически расширяют до более общих или сложных понятий (дробь, плавная величина, матрица…), так же и множество может быть применено в синтезе более сложных математических объектов, либо заменяться формальными схемами иного рода: типами, мультимножествами, кластерами, последовательностями. Хотя «свет клином не сошёлся» именно на множестве, как некоем изначальном и фундаментальном объекте мышления, именно оно исторически было первым универсальным логическим средством, более абстрактным и оттого более свободным даже, чем число, список, строка, граф…

Аксиоматика теории множеств в законченном виде сформировалась лишь в первой половине XX века. Как и любая математическая теория, она допускает вариации, однако, образцовой считается система аксиом Цермело — Френкеля с дополнительной аксиомой выбора (ZFC).

Множество — это объект, идентичность которого целиком определена через другие объекты, установленные в отношение принадлежности —  — этому множеству. Если , то говорится, что икс является элементом A, принадлежит ему, А содержит икс, и так далее в том же роде. Этот объект может, в свою очередь, быть множеством; иначе, он является атомом, урэлементом, tertium non datur.

Принадлежность нетранзитивна: элемент, состоящий в некоем множестве, состоящем в другом множестве, в общем случае не принадлежит тому другому множеству.

Множество не просто «постоянно» в отношении содержимых там объектов, а по определению образуется через их совокупность: не имеет смысла «изменить множество» добавлением или изъятием элементов, ибо это станет иным множеством. Следовательно, каждое множество, будучи строго определено, имеет неизменное количество элементов, «размер». Эта величина называется мощностью. В случае конечных множеств она выражается одним из натуральных чисел.

Множество, содержащее некоторые из элементов другого множества, и никакие более, является его подмножеством, включено в него. Множество, подмножеством которого является данное, — это его надмножество.

Множество, содержащее лишь некоторые элементы другого множества, и помимо того ещё какие-то, пересекается с ним. Это соответствует логической конъюнкции: пересечение двух множеств образует множество с теми элементами, которые находятся в первом и во втором.

Множество, содержащее все элементы одного множества и все элементы другого, называется объединением: оно содержит элементы или одного, или другого. Возможно — обоих: элементы пересечения в объединении считаются по одному разу, ибо по определению множества один и тот же элемент может быть посчитан лишь один раз. Иначе строится объект мультимножество.

Класс — множество или нечто, ради избежания парадоксов отличаемое от множеств, где элементы не перечислены, а определены через предикат: — некоторое свойство, которым должны обладать все элементы класса, и не обладать все прочие объекты данного универсума. Например, на данном множестве, класс эквивалентности a, это подмножество, содержащее все элементы, эквивалентные a.

История[править]

Слово «множество» (по-немецки Menge) по отношению к абстрактным наборам формальных объектов впервые употреблено в работе Бернарда Больцано «Парадоксы бесконечного» от 1851 года,[1] где он закладывает философские начала исследования бесконечных множеств чисел.

Теоретическим основателем наивной теории множеств считается Георг Кантор.

Множества в человеческом языке[править]

Родственные классы формальных объектов[править]

Связанные общефилософские понятия[править]

Источники[править]

  1. «Парадоксы бесконечнаго», перевод от 1911 года.