Квадратное уравнение

Квадратное уравнение, дискриминант, формула корней [3:01]

Квадратное уравнение — это такое, которое может быть преобразовано к уравнению с многочленом второй степени в левой части и нулём в правой части.

Обозначения

x — переменная;

x₁, x₂ — корни уравнения — комплексные числа;

a, b, c — коэффициенты — действительные числа;

D = b² − 4ac — дискриминант уравнения;

ax² + bx + c — многочлен второй степени, при этом a ≠ 0;

ax² + bx + c = 0 — квадратное уравнение, при этом a ≠ 0.

Формулы

 → Квадратичная формула

$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{cases}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x_{1}={\frac {-b-i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\\x_{2}={\frac {-b+i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\end{cases}}$

• Квадратное уравнение имеет либо два действительных корня, либо два комплексных корня.
• Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных

При использовании дискриминанта формулы принимают вид:

$x_{1,2}={\begin{cases}{\frac {-b\pm i{\sqrt {-D}}}{2a}},{\text{ если }}D<0\\{\frac {-b}{2a}},{\text{ если }}D=0\\{\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}},{\text{ если }}D>0\end{cases}},{\text{ где }}D=b^{2}-4ac\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}x_{1}={\frac {-b-i{\sqrt {-D}}}{2a}},x_{2}={\frac {-b+i{\sqrt {-D}}}{2a}},{\text{ если }}D<0\\x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}},{\text{ если }}D=0\\x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}},x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}},{\text{ если }}D>0\end{cases}},{\text{ где }}D=b^{2}-4ac$

См. также

• Простейшее квадратное уравнение

Другие уравнения:

• линейное уравнение;
• квадратное уравнение;
• уравнение квадрата;
• кубическое уравнение;
• уравнение куба;
• уравнение синуса;
• уравнение косинуса;
• уравнение тангенса;
• уравнение котангенса;
• уравнение секанса;
• уравнение косеканса.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.47.