Число Эйлера

Число e — 2,71828... Математический смысл просто и наглядно // science_pub [6:12]

Что такое число е? // ЕГЭ без боли [9:26]

Science show. Выпуск 45. Число е // Макар Светлый [14:09]

Число Эйлера (число e) — математическая константа (действительное число), основание натурального логарифма.

Может быть определено многими способами, один из которых — такое значение константы a, что производная показательной функции с этим основанием равно той же функции: (a^x)' = a^x. Приблизительно равно 2,718281828…. Это иррациональное и трансцендентное число.

Бесконечная дробь

Число Эйлера представимо в виде бесконечной цепной дроби.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}}}}}}}}}}}}} }

Или эквивалентного ему выражения:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ldots}}}}} }

Рекурсия

Число Эйлера представимо в виде рекурсивной функции.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e=2+f(2)} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(n)=\frac{n}{n+f(n+1)}, \ n \in \mathbb{N}\cup\{0\}}

Ряд

Число Эйлера представимо в виде ряда:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}+\frac{1}{8!}+\frac{1}{9!}+\frac{1}{10!}+\ldots \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow e=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} \Leftrightarrow e=2+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)!}}

Предел

Число Эйлера представимо в виде предела.

Второй замечательный предел

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e=\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x}

Формула Стирлинга

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e=\lim_{n \to \infty}\left[n \cdot \left(\frac{\sqrt{2\pi n}}{n!}\right)^\frac{1}{n}\right]}

См. также

• Цифры после запятой в числе e
• Число пи