Число Эйлера

Число e — 2,71828... Математический смысл просто и наглядно // science_pub [6:12]

Что такое число е? // ЕГЭ без боли [9:26]

Science show. Выпуск 45. Число е // Макар Светлый [14:09]

Число Эйлера (число e) — математическая константа (действительное число), основание натурального логарифма.

Может быть определено многими способами, один из которых — такое значение константы a, что производная показательной функции с этим основанием равно той же функции: (a^x)' = a^x. Приблизительно равно 2,718281828…. Это иррациональное и трансцендентное число.

Бесконечная дробь

Число Эйлера представимо в виде бесконечной цепной дроби.

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Или эквивалентного ему выражения:

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots }}}}}}}}}}$

Рекурсия

Число Эйлера представимо в виде рекурсивной функции.

$e=2+f(2)$, где $f(n)={\frac {n}{n+f(n+1)}},\ n\in \mathbb {N} \cup \{0\}$

Ряд

Число Эйлера представимо в виде ряда:

$e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{5!}}+{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{7!}}+{\frac {1}{8!}}+{\frac {1}{9!}}+{\frac {1}{10!}}+\ldots \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\Leftrightarrow e=2+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)!}}$

Предел

Число Эйлера представимо в виде предела.

Второй замечательный предел

$e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$

Формула Стирлинга

$e=\lim _{n\to \infty }\left[n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{\frac {1}{n}}\right]$

См. также

• Цифры после запятой в числе e
• Число пи