Точка пересечения прямой и плоскости

Точка пересечения прямой и плоскости — это точка, удовлетворяющая уравнениям прямой и плоскости.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar r_1=(x_1,y_1,z_1)}  — радиус-вектор точки прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar r_2=(x_2,y_2,z_2)}  — радиус-вектор точки пересечения прямой и плоскости;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar s_1=(l_1,m_1,n_1)}  — направляющий вектор прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar n_2=(A_2,B_2,C_2)}  — нормаль к плоскости;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}}  — уравнение прямой;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0}  — уравнение плоскости.

Формулы

Векторная форма

Координатная форма

• Заметим, что при перпендикулярности прямой к плоскости формулы точки пересечения прямой и плоскости совпадают с формулами основания перпендикуляра из точки к плоскости.
• Заметим, что для определения координат точки пересечения прямой и плоскости достаточно, записав уравнения прямой и плоскости в систему, решить систему методами линейной алгебры.

Пример

Даны прямая и плоскость: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{x-1}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+1}{4}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -2x+2y+3z-29=0} .

Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Решение.

Другие точки:

1. проекция точки на прямую;
2. проекция точки на плоскость;
3. основание перпендикуляра из точки к прямой;
4. основание перпендикуляра из точки к плоскости;
5. точка пересечения перпендикуляра к двум прямым с первой прямой;
6. точка пересечения перпендикуляра к двум прямым со второй прямой;
7. точка пересечения прямой и плоскости;
8. точка пересечения трёх плоскостей;
9. точка, равноудалённая от двух прямых;
10. точка, равноудалённая от четырёх точек;
11. точка деления отрезка в данном отношении;
12. точка прямой, находящаяся от первой точки прямой до второй в данном отношении;
13. точка прямой, находящаяся перед первой точкой прямой до второй в данном отношении;
14. точка прямой, находящаяся от первой точки прямой за второй в данном отношении.

Ссылки

• Участник:Logic-samara