Точка пересечения прямой и плоскости
Точка пересечения прямой и плоскости — это точка, удовлетворяющая уравнениям прямой и плоскости.
Содержание
Обозначения[править]
Введём обозначения:
[math]\displaystyle{ \bar r_1=(x_1,y_1,z_1) }[/math] — радиус-вектор точки прямой;
[math]\displaystyle{ \bar r_2=(x_2,y_2,z_2) }[/math] — радиус-вектор точки пересечения прямой и плоскости;
[math]\displaystyle{ \bar s_1=(l_1,m_1,n_1) }[/math] — направляющий вектор прямой;
[math]\displaystyle{ \bar n_2=(A_2,B_2,C_2) }[/math] — нормаль к плоскости;
[math]\displaystyle{ \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1} }[/math] — уравнение прямой;
[math]\displaystyle{ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 }[/math] — уравнение плоскости.
Формулы[править]
Координатная форма:
- Заметим, что при перпендикулярности прямой к плоскости формулы точки пересечения прямой и плоскости совпадают с формулами основания перпендикуляра из точки к плоскости.
- Заметим, что для определения координат точки пересечения прямой и плоскости достаточно, записав уравнения прямой и плоскости в систему, решить систему методами линейной алгебры.
Пример[править]
Даны прямая и плоскость: [math]\displaystyle{ \frac{x-1}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+1}{4} }[/math] и [math]\displaystyle{ -2x+2y+3z-29=0 }[/math].
Найти точку пересечения прямой и плоскости.
Решение.
Другие формулы[править]
- Основание перпендикуляра из точки к прямой;
- Основание перпендикуляра из точки к плоскости;
- Точка пересечения перпендикуляра к двум прямым с первой прямой;
- Точка пересечения перпендикуляра к двум прямым со второй прямой;
- Точка пересечения прямой и плоскости;
- Точка пересечения трёх плоскостей;
- Точка деления отрезка в данном отношении;
- Точка прямой, находящаяся от первой точки прямой до второй в данном отношении;
- Точка прямой, находящаяся перед первой точкой прямой до второй в данном отношении;
- Точка прямой, находящаяся от первой точки прямой за второй в данном отношении.