Проекция точки на плоскость

Проекция точки на плоскость — это точка пересечения перпендикуляра из точки на плоскость и плоскости.

Обозначения

Введём обозначения:

[math]\displaystyle{ \bar r_1=(x_1,y_1,z_1) }[/math] — радиус-вектор проекции точки;

[math]\displaystyle{ \bar r_0=(x_0,y_0,z_0) }[/math] — радиус-вектор точки;

[math]\displaystyle{ \bar n_1=(A_1,B_1,C_1) }[/math] — нормаль к плоскости;

[math]\displaystyle{ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 }[/math] — уравнение плоскости;

[math]\displaystyle{ p_{01} }[/math] — отклонение точки от плоскости.

Формулы:

Векторная форма:

[math]\displaystyle{ \overline{r}_1=\overline{r}_0-\frac{\left(\overline{r}_0 \cdot \overline{n}_1\right)+D_1}{\left(\overline{n}_1 \cdot \overline{n}_1\right)}\overline{n}_1 \Leftrightarrow \overline{r}_1=\overline{r}_0-\frac{p_{01}}{\left|\overline{n}_1\right|}\overline{n}_1, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ p_{01} = \frac{\left(\overline{r}_0 \cdot \overline{n}_1\right)+D_1}{\left|\overline{n}_1\right|} }[/math]

Координатная форма:

• Заметим, что формулы проекции точки на плоскость аналогичны формулам основания перпендикуляра из точки к плоскости.

Пример

Даны точка и плоскость: [math]\displaystyle{ (-4;3;5) }[/math] и [math]\displaystyle{ -x+2y-2z+9=0 }[/math].

Найти проекцию точки на плоскость.

Решение.

Другие формулы:

• Проекция вектора на вектор;
• Проекция точки на прямую;
• Проекция точки на плоскость.

Ссылки

• Участник:Logic-samara