Проекция точки на плоскость

Проекция точки на плоскость — это точка пересечения перпендикуляра из точки на плоскость и плоскости.

Обозначения

Введём обозначения:

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — радиус-вектор проекции точки;

${\bar {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ — радиус-вектор точки;

${\bar {n}}_{1}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ — нормаль к плоскости;

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ — уравнение плоскости;

$p_{01}$ — отклонение точки от плоскости.

Формулы:

Векторная форма:

${\overline {r}}_{1}={\overline {r}}_{0}-{\frac {\left({\overline {r}}_{0}\cdot {\overline {n}}_{1}\right)+D_{1}}{\left({\overline {n}}_{1}\cdot {\overline {n}}_{1}\right)}}{\overline {n}}_{1}\Leftrightarrow {\overline {r}}_{1}={\overline {r}}_{0}-{\frac {p_{01}}{\left|{\overline {n}}_{1}\right|}}{\overline {n}}_{1},$

где

$p_{01}={\frac {\left({\overline {r}}_{0}\cdot {\overline {n}}_{1}\right)+D_{1}}{\left|{\overline {n}}_{1}\right|}}$

Координатная форма:

• Заметим, что формулы проекции точки на плоскость аналогичны формулам основания перпендикуляра из точки к плоскости.

Пример

Даны точка и плоскость: $(-4;3;5)$ и $-x+2y-2z+9=0$.

Найти проекцию точки на плоскость.

Решение.

Другие формулы:

• Проекция вектора на вектор;
• Проекция точки на прямую;
• Проекция точки на плоскость.

Ссылки

• Участник:Logic-samara