Проекция точки на прямую в трёхмерном пространстве

Проекция точки на прямую — это точка пересечения перпендикуляра из точки к прямой и прямой.

Обозначения

Введём обозначения:

[math]\displaystyle{ \bar r_2=(x_2,y_2,z_2) }[/math] — радиус-вектор проекции точки;

[math]\displaystyle{ \bar r_0=(x_0,y_0,z_0) }[/math] — радиус-вектор точки;

[math]\displaystyle{ \bar r_1=(x_1,y_1,z_1) }[/math] — радиус-вектор точки прямой;

[math]\displaystyle{ \bar s_1=(l_1,m_1,n_1) }[/math] — направляющий вектор прямой;

[math]\displaystyle{ \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1} }[/math] — уравнение прямой;

[math]\displaystyle{ p_{01} }[/math] — отклонение точки прямой от перпендикулярной к прямой плоскости, проходящей через точку.

Формулы:

Векторная форма:

Координатная форма:

• Заметим, что формулы проекции точки на прямую аналогичны формулам основания перпендикуляра из точки к прямой.

Пример

Даны точка и прямая: [math]\displaystyle{ (-4;3;5) }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{x-1}{-2}=\frac{y+5}{3}=\frac{z+1}{4} }[/math].

Найти проекцию точки на прямую.

Решение.

Другие формулы:

• Проекция вектора на вектор;
• Проекция точки на прямую;
• Проекция точки на плоскость.

Ссылки

• Участник:Logic-samara