Уравнение проекции прямой на плоскость

Уравнение проекции прямой на плоскость — это уравнение прямой, являющейся пересечением перпендикулярной плоскости (проходящей через прямую) и плоскости.

Обозначения

${\bar {r}}=(x,y,z)$ — радиус-вектор точки прямой (проекции);

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — радиус-вектор точки прямой;

${\bar {s}}_{1}=(l_{1},m_{1},n_{1})$ — направляющий вектор прямой;

${\bar {n}}_{2}=(A_{2},B_{2},C_{2})$ — нормаль к плоскости;

$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ — уравнение плоскости.

Проекции

Векторная форма

${\begin{cases}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}_{1}\right){\bar {s}}_{1}{\bar {n}}_{2}=0\\\left({\bar {r}}\cdot {\bar {n}}_{2}\right)+D_{2}=0\end{cases}}$

Координатная форма

${\begin{cases}{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\l_{1}&m_{1}&n_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}=0\\\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\end{cases}}\ \ \Leftrightarrow {\begin{cases}{\begin{vmatrix}m_{1}&n_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}(x-x_{1})-{\begin{vmatrix}l_{1}&n_{1}\\A_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}(y-y_{1})+{\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}(z-z_{1})=0\\\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\end{cases}}$

Другие проекции:

1. проекция вектора на вектор;
2. проекция точки на прямую;
3. проекция точки на плоскость;
4. проекция прямой на плоскость.

Другие уравнения:

1. общее;
2. каноническое;
3. параметрическое;
4. проходящей через две точки;
5. равноудалённой от трёх точек;
6. проходящей через точку в направлении вектора;
7. проходящей через точку параллельно прямой;
8. проходящей через точку перпендикулярно плоскости;
9. образованной пересечением двух плоскостей;
10. проекции прямой на плоскость;
11. перпендикуляра из точки к прямой;
12. перпендикуляра из точки к плоскости;
13. перпендикуляра к двум прямым.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.