Игра Пенни
Игра Пенни (англ. Penney’s game) — нетранзитивный парадокс, найденный Уолтером Пенни (Walter Penney) и впервые опубликованный в 1969 г. в журнале Journal of Recreational Mathematics (октябрь 1969 г., с 241). Суть его сводится к следующему: пусть А и Б играют в такую игру — сначала А выбирает произвольную двоичную последовательность (например, из нулей и единиц) длины 3 и показывает её игроку Б. Затем Б делает то же самое. Далее игроки строят случайную двоичную последовательность (например, бросают монету), в которой появление 0 и 1 равновероятно. Выигрывыет тот игрок, чья последовательность встретится раньше в этой случайной последовательности. Например, пусть игрок А выбрал тройку 001, а игрок Б — тройку 100. Пусть при 5-кратном бросании монеты получилась случайная последовательность 10100. Последние 3 цифры в ней — 100 — совпадают с тройкой, выбранной игроком Б, а тройка А не встретилась, поэтому после 5-го бросания монеты игрок Б выигрывает. Парадокс заключается в том, что для любой тройки игрока А найдётся такая тройка, которая выигрывает у неё с вероятностью, большей 1/2. То есть, нет «самой сильной» тройки, для любой тройки найдётся более «сильная», которая выигрывает у неё с вероятностью, большей половины. Шансы на выигрыш у игрока Б в худшем случае равны 2/3. Если от троек перейти к четвёркам исходов, то шансы игрока Б на выигрыш станут ещё выше.
Мартин Гарднер в[1] по этому поводу пишет:
|
В следующей таблице приведены вероятности выигрыша игрока Б с тройками исходов.
| 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 100 | 111 | |
| 000 | 1/2 | 2/5 | 2/5 | 1/8 | 5/12 | 3/10 | 1/2 | |
| 001 | 1/2 | 2/3 | 2/3 | 1/4 | 5/8 | 1/2 | 7/10 | |
| 010 | 3/5 | 1/3 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 3/8 | 7/12 | |
| 011 | 3/5 | 1/3 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 3/4 | 7/8 | |
| 100 | 7/8 | 3/4 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/3 | 3/5 | |
| 101 | 7/12 | 3/8 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/3 | 3/5 | |
| 110 | 7/10 | 1/2 | 5/8 | 1/4 | 2/3 | 2/3 | 1/2 | |
| 111 | 1/2 | 3/10 | 5/12 | 1/8 | 2/5 | 2/5 | 1/2 |
Чтобы найти выигрышную тройку, в верхней строке таблицы найдите тройку игрока А, а в её столбце ищите максимальное число. В строке с этим числом в левом столбце будет стоять тройка игрока Б, которая выигрывает против заданной тройки игрока А с максимальной вероятностью. Например, пусть игрок А выбрал тройку 000. В 1-м столбце таблицы ищем наибольшее число, это 7/8. В левом столбце строки с числом 7/8 читаем тройку игрока Б 100, которая выигрывает против тройки 000 с вероятностью 7/8. Действительно: если при бросании монеты последовательность не начинается на 000, то, когда эта тройка впервые появится в случайной последовательности, ей будет предшествовать 1, а это значит, что тройка 100 встретилась раньше и игрок Б выиграл. Тройка 000 выигрывает против тройки 100 только, если 000 встретится в самом начале случайной последовательности, а вероятность этого равна 1/8.
Источники[править]
Ссылки[править]
- Сергей Мельников Прыжок через козла // Наука и жизнь. — 1997. — В. 5. — С. 62-64. В этом рассказе студенты мехмата ДГУ (ныне ДНУ — Днепропетровский национальный университет) получают зачёт по физкультуре, используя данный парадокс У. Пенни.