Инвариант Громова – Виттена

Инвариант Громова – Виттена — понятие в симплектической топологии и алгебраической геометрии. Означает рациональное число, характеризующее псевдоголоморфную кривую, удовлетворяющую заданным условиям в данном симплектическом многообразии. Инварианты ГВ могут рассматриваться как гомология или класс когомологии в соответствующем пространстве. Эти инварианты использовались для различения симплектических многообразий, которые ранее были неразличимы. Они также играют решающую роль в замкнутой теории струн типа IIA. Они названы в честь Михаила Громова и Эдварда Виттена.

Строгое математическое определение инвариантов Громова–Виттена является длительным и сложным, поэтому оно рассматривается отдельно в статье стабильное отображение^[en]. В этой статье предпринята попытка более интуитивного объяснения того, что означают инварианты, как они вычисляются и почему они важны.

Определение

Введем обозначения:

• X: замкнутое симплектическое многообразие размерности 2 k,
• A 2-мерный гомологический класс в "X",
• g: неотрицательное целое число,
• n: неотрицательное целое число.

Теперь мы определим инварианты Громова–Виттена, связанные с 4-х кортежем: (X, A, g, n). Пусть ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ – пространство модулей Делиня-Мамфорда кривых рода g с отмеченными точками n, а ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ обозначает пространство модулей стабильных отображений^[en] в X класса "A" для некоторой выбранной почти сложной структуры "J" на "X", совместимой с ее симплектической формой. Элементы ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ имеют вид:

$(C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)$,

где "C" - это (не обязательно стабильная) кривая с n отмеченными точками x₁, ..., x_n и (отображение) f : C > X является псевдоголоморфным. Пространство модулей имеет вещественную размерность

$d:=2c_{1}^{X}(A)+(2k-6)(1-g)+2n.$

Пусть

$\mathrm {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$

обозначает cтабильное отображение^[en] кривой. Пусть

$Y:={\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times X^{n},$

которое имеет вещественную размерность $6g-6+2(k+1)n$. Существует оценочное отображение

${\begin{cases}\mathrm {ev} :{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)\to Y\\\mathrm {ev} (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)=\left(\operatorname {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})\right).\end{cases}}$

Оценочное отображение отображает фундаментальный класс ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)$ на "d"-мерный класс рациональных гомологий в "Y", обозначаемый

$GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbb {Q} ).$

В некотором смысле этот класс гомологии является инвариантом Громова–Виттена X для данных g, n и A. Это инвариант класса симплектической изотопии симплектического многообразия "X".

Чтобы интерпретировать инвариант Громова–Виттена геометрически, пусть $\beta$ будет классом гомологии в классах гомологии ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ и $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ в "X", таким образом, что сумма коразмерностей $\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ равна "d". Они индуцируют классы гомологии в "Y" по формуле Куннета^[en].

Пусть

$GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdots \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),$

где $\cdot$ обозначает произведение пересечений в рациональной гомологии "Y". Это рациональное число, "инвариант Громова–Виттена" для заданных классов. Это число дает "виртуальный" подсчет числа псевдоголоморфных кривых (в классе "A", рода "g", с областью в $\beta$-части пространства Делиня–Мамфорда), чьи отмеченные "n" точек сопоставлены с циклами, представляющими $\alpha _{i}$.

Проще говоря, инвариант ГВ подсчитывает, сколько существует кривых, пересекающих "n" выбранных подмногообразий "X". Однако из-за "виртуальной" природы подсчета оно не обязательно должно быть натуральным числом, как можно было бы ожидать от подсчета. Для пространства устойчивых отображений является орбифолд, точки изотропии которого могут вносить нецелые значения в инвариант.

Существует множество вариаций этой конструкции, в которых вместо гомологии используются когомологии, интеграция заменяет пересечение, также интегрируются классы Чженя, извлеченные из пространства Делиня–Мамфорда, и т. д.

Вычислительные методы

Инварианты Громова–Виттена, как правило, трудно вычислить. Хотя они определены для любой общей почти комплексной структуры "J", для которой линеаризация "D" оператора ${\bar {\partial }}_{j,J}$ является сюръективной, на самом деле они должны быть вычислены относительно конкретной выбранной "J". Удобнее всего выбрать "J" со специальными свойствами, такими как негенерические симметрии или интегрируемость. Действительно, вычисления часто выполняются на многообразиях Келера с использованием методов алгебраической геометрии.

Однако специальное "J" может индуцировать не сюръективное "D" и, следовательно, пространство модулей псевдоголоморфных кривых, которое больше, чем ожидалось. Грубо говоря, этот эффект корректируется путем формирования из коядра "D" векторного расслоения, называемого "расслоением препятствий", а затем реализации GW инвариантен как интеграл класса Эйлера^[en] расслоения препятствий. Уточнение этой идеи требует значительных технических аргументов с использованием структур Кураниши^[en].

Основной вычислительной техникой является локализация. Она применяется, когда "X" является торической, что означает, что на него воздействует сложный тор или, по крайней мере, локально торический. Затем можно использовать теорему Атьи–Ботта о фиксированной точке^[en] Майкла Атьи и Рауля Ботта, чтобы свести или локализовать вычисление инварианта ГВ к интегрированию по месту действия с фиксированной точкой.

Другой подход заключается в использовании симплектических операций для связи "X" с одним или несколькими другими пространствами, инварианты ГВ которых легче вычисляются. Конечно, сначала нужно понять, как инварианты ведут себя при операциях. Для таких приложений часто используются более сложные "относительные инварианты ГВ", которые подсчитывают кривые с заданными условиями касания вдоль симплектического подмногообразия "X" вещественной коразмерности два.

Связанные инварианты и другие конструкции

Инварианты ГВ тесно связаны с рядом других понятий в геометрии, включая инварианты Дональдсона^[en] и ннварианты Зайберга–Виттена^[en] в симплектической категории и теория Дональдсона–Томаса^[en] в алгебраической категории. Для компактных симплектических четырех многообразий Клиффорд Таубес показал, что вариант инвариантов ГВ (см. инвариант Громова-Таубса^[en]) эквивалентен инвариантам Зайберга–Виттена. Для алгебраических тройных многообразий предполагается, что они содержат одно и то же информация как целочисленное значение инвариант Дональдсона–Томаса^[en]. Физические соображения также приводят к инвариантам Гопакумара–Вафы^[en], которые предназначены для определения базового числа целых чисел в типично рациональной теории Громова-Виттена. Инварианты Гопакумара-Вафы в настоящее время не имеют строгого математического определения, и это одна из главных проблем в данной области.

Инварианты Громова-Виттена гладких проективных многообразий могут быть полностью определены в рамках алгебраической геометрии. Классическая перечислительная геометрия плоских кривых и рациональных кривых в однородных пространствах фиксируется инвариантами ГВ. Однако основное преимущество инвариантов ГВ перед классическими перечислительными подсчетами состоит в том, что они инвариантны при деформациях сложной структуры цели. То Инварианты ГВ также обеспечивают деформации структуры продукта в когомологиях кольцо симплектического или проективного многообразия; они могут быть организованы для построения кольца квантовых когомологий^[en] многообразия "X", которое является деформацией обычных когомологий. Ассоциативность деформированного произведения по существу является следствием самоподобной природы пространства модулей устойчивых отображений, которые используются для определения инвариантов.

Известно, что кольцо квантовых когомологий изоморфно симплектической гомологии Флоера^[en] с ее произведением "пары штанов".

Применение в физике

Инварианты ГВ представляют интерес для теории струн, раздела физики, который пытается объединить общую теорию относительности и квантовую механику. Согласно этой теории, все во Вселенной, начиная с элементарных частиц, состоит из крошечных струн. При перемещении струны в пространстве-времени она "заметает" поверхность, называемую мировым листом струны. К сожалению, пространство модулей таких параметризованных поверхностей, по крайней мере априори, является бесконечномерным; соответствующая мера в этом пространстве неизвестна, и, следовательно, интегралы по траекториям теории не имеют строгого определения.

Ситуация улучшается в варианте, известном как закрытая А-модель^[en]. Здесь имеется шесть пространственно-временных измерений, которые составляют симплектическое многообразие, и оказывается, что мировые листы обязательно параметризованы псевдоголоморфными кривыми, пространства модулей которых являются только конечномерными. Инварианты ГВ, как интегралы по этим пространствам модулей, тогда являются интегралами по траекториям теории. В частности, свободная энергия A-модели при роде "g" является производящей функцией инвариантов ГВ рода "g".

См. также

• Кокасательный комплекс^[en] - для теории деформаций
• Исчисление Шуберта^[en]

Ссылки

• J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology. — American Mathematical Society colloquium publications. — ISBN 0-8218-3485-1. An analytically flavoured overview of Gromov–Witten invariants and quantum cohomology for symplectic manifolds, very technically complete
• Piunikhin Sergey Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology // Contact and Symplectic Geometry. — Cambridge University Press. — P. 171–200. — ISBN 0-521-57086-7.

Дальнейшее чтение

• Moduli Spaces of Genus-One Stable Maps, Virtual Classes and an Exercise of Intersection Theory - Andrea Tirelli
• Kock Joachim An Invitation to Quantum Cohomology: Kontsevich's Formula for Rational Plane Curves. — New York: Springer, 2007. — ISBN 978-0-8176-4456-7. A nice introduction with history and exercises to the formal notion of moduli space, treats extensively the case of projective spaces using the basics in the language of schemes.
• Vakil Ravi 2006 The Moduli Space of Curves and Gromov–Witten Theory
• Notes on stable maps and quantum cohomology

Исследовательские статьи

• Gromov-Witten theory of schemes in mixed characteristic