Использование свойств и графиков функций при решении неравенств

Для решения неравенств можно пользоваться аналитическим и графическим способами. В обоих случаях необходимо учитывать свойства функций и вид их графиков.

Монотонность, ограниченность, чётность или нечётность очень важны для решения многих неравенств, при использовании этих свойств в некоторых случаях можно решить задачу не прибегая к громоздким преобразованиям. Таким образом, этот способ решения наиболее рационален.

Свойства функций

Парность/непарность

Если график функции симметричен относительно оси ОУ, то данная функция будет называться парной. Для такой функции значение будет одинаковым, как для положительных «х», так и для отрицательных «-х». Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(-x) = f(x)} .

Парной функцией можно назвать квадратичную функцию, графиком которой является парабола с вершиной в начале координат. Так же будет парной функция выражения, взятого по модулю. Среди тригонометрических функций существует единственная парная — функция косинуса.

Если функция симметрична относительно начала координат, то её называют непарной. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(-x)=-f(x)} .

К таким функциям можно отнести любую функцию нечётной степени или же, например, функцию синуса.

Множество функций нельзя отнести ни к парным, ни к непарным.

Периодичность

Если значения некоторой функции повторяются через некоторый период, то такая функция называется периодической. К периодическим функциям относятся все тригонометрические функции.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Нуль функций — это такое значение ординаты, при которой функция обращается в нуль.

Найти решение уравнений означает найти нули функций. Иными словами, нулём называется точка, в которой график функции пересекает ось ОХ.

Промежутки знакопостоянства — это диапазон, в котором функция имеет одинаковый знак, то есть принимает только положительные, или только отрицательные значения.

Нули функции разбивает всю числовую прямую на интервалы. Именно относительно нулей происходит решение неравенств высоких степеней. Чередование знаков на промежутках происходит именно относительно нулей функции.

Убывание/ возрастание функции

Если на некотором промежутке [а, б] функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x_1)<f(x_2)} для любых Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1<x_2} , то такую функцию называют монотонно возрастающей.

Если на некотором промежутке [а, б] функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x_1)>f(x_2)} для любых Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1<x_2} , то такую функцию называют монотонно убывающей.

Минимум/максимум/экстремум

Если для некоторого участка функции в точке выполняется неравенство Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x_1)<f(x_0)(f(x_1)>f(x_0))} , то точка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0} является максимумом (минимумом) функции. То есть точкой, в которой функция будет принимать максимальное (минимальное) значение.

Точки, в которых функция принимает максимальное или минимальное значения, называются экстремумами функции. В данном случае Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{max}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{min}}  — точки экстремума, а функция в данной точке называется экстремумом функции.

Точки, в которых производная функции равная нулю или не существует вовсе, называются критическими точками.

Если производная некоторой функции в точке равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то данная точка будет точкой максимума, если вторая производная меньше нуля, и минимума, если она больше нуля.

Область допустимых значений

Это одно из наиболее важных свойств функций, используемых в неравенствах, поскольку ОДЗ позволяет сразу же избавиться от посторонних решений системы.

Область допустимых значений — это множество всех действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция определена. Для нахождения функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.). Иногда это позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел.

Пример 1

Необходимо решить неравенство.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{x+3}+\sqrt[4]{9-x}<\sqrt 3} .

ОДЗ неравенства: все Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} из промежутка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -3\leqslant x \leqslant 9}

Разобьём это множество на два промежутка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -3\leqslant x \leqslant 0} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0\leqslant x \leqslant 9} .

Для промежутка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -3\leqslant x \leqslant 0} :

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt {x+3} \geqslant 0} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt[4]{9-x} \geqslant \sqrt[4] 9} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt[4] 9 = \sqrt 3} .

Следовательно: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt {x+3} + \sqrt[4]{9-x} \geqslant \sqrt 3} , и на этом промежутке неравенство решений не имеет.

Пусть теперь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant 9} . Тогда:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt {x+3} \geqslant 3} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt[4]{9-x} \geqslant 0} .

Следовательно, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt {x+3} + \sqrt[4]{9-x} \geqslant \sqrt 3} , и на этом промежутке неравенство решений также не имеет.

Ответ: Неравенство решений не имеет.

Пример 2

Решите неравенство графическим способом:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2-x-2 \geqslant 0} .

Решение:

Представим такое неравенство в виде

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2 \geqslant x+2} .

Построим графики функций:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1 = x^2} (парабола) и

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_2 = x + 2} (прямая линия).

Графики пересекаются в точках А и В, абсциссы которых, соответственно, равны Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 = -1} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2 = 2} .

Исходному неравенству Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2-x-2 \geqslant 0} удовлетворяют те значения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} , при которых значения первой функции больше или равны значениям второй функции, то есть при которых график первой функции расположен выше или на уровне второй функции. Из рисунка видно, что такими значениями являются все числа из промежутков:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \leqslant -1} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \geqslant 2} . Это и будет решением задачи.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Использование свойств и графиков функций при решении неравенств», расположенная по адресу: — https://ru.ruwiki.ru/wiki/Использование_свойств_и_графиков_функций_при_решении_неравенств Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».