Квазикоординаты

Квазикоординаты — условно вводимые обозначения, позволяющие описывать поведение механических систем с помощью уравнений движения под действием набора сил.

Физические основы

Конфигурация динамических систем в общем виде задаётся Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} независимыми параметрами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ q_1, ... q_n \}} . Для решения основной задачи механики и определения скоростей всех точек динамической системы использование обобщённых скоростей вида Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ \dot {q_1}, \dot {q_2}, ... \dot{q_n} \}} неудобно с точки зрения трудоёмкости решения, а вот комбинация линейных форм с коэффициентами, зависящими от обобщённых координат вида:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle w_s=a_{s1}\dot{q_1}+ ... + a_{sn}\dot{q_n}} ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=1, ... n} , позволяет упростить вычисления.

Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle w_s}  — квазискорости точек динамической системы.

В качестве примера приведём систему проекций вектора угловой скорости тела Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle w} на оси Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Ox'y'z'} в случае, когда обобщёнными координатами свободного твёрдого тела являются координаты полюса Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0, y_0, z_0} в неподвижной системе Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{O} x'y'z'} :

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} w_1= \dot{\vartheta}\cos\varphi+ \dot{\psi}\sin \vartheta \sin \varphi, \\ w_2= - \dot{\vartheta}\sin\varphi+ \dot{\psi}\sin \vartheta \sin \varphi, \\ w_3= \dot{\varphi} + \dot{\psi}\cos \vartheta \end{cases}} ,

а выражение для скоростей примет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} v_{0x'}= \dot{x_0}\alpha_{11} + \dot{y_0}\alpha_{12} + \dot{z_0}\alpha_{13}, \\ v_{0y'}= \dot{x_0}\alpha_{21} + \dot{y_0}\alpha_{22} + \dot{z_0}\alpha_{23}, \\ v_{0z'}= \dot{x_0}\alpha_{31} + \dot{y_0}\alpha_{32} + \dot{z_0}\alpha_{33}, \end{cases}} .

Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{ik}}  — обозначения косинусов углов осей системы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Ox'y'z'} с неподвижными осями.

Через квазискорости можно выражать и другие величины. Видно, что запись уравнений через квазискорости гораздо проще, чем через обобщённые скорости, особенно для выражения кинетической энергии твёрдого тела, проекций момента количества движения, и др.

Квазикоординаты вводятся как линейные формы дифференциалов обобщённых координат:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d\pi_s=\alpha_{s1}dq_1 + \ldots + \alpha_{sn} dq_n} ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=1, \ldots, n} .

В этом выражении введённое обозначение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi_s} принято называть квазикоординатами. Для квазикоординат выполняется отношение:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{d\pi_s}{dt}=w_s=\overset{0}{\pi_s}} ,

в котором ноль над Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi} обозначает, что речь идёт о квазикоординатах, а не о дифференцировании по времени.

Если выражения для механической системы интегрируемы, то в квазикоординатах можно записать:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi_s=\pi_s(q_1,\ldots, q_n)} ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=1, \ldots, n} .

Литература

• Лурье А. И. Аналитическая механика. — Москва : Физматлит, 1961.
• В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1989. — 472 с.
• Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. — Москва : Эдиториал УРСС, 2004.

Ссылки

• Квазикоординаты

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Квазикоординаты», расположенная по адресу: — https://ru.ruwiki.ru/wiki/Квазикоординаты Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».