Омега (константа)

← другие значения

Омега — это константа, представляющая собой такое вещественное число, что если его умножить на константу e, возведенную в его степень, получается единица:

$\Omega \,e^{\Omega }=1.\,$

Это значение W(1), где W это W-функция Ламберта, которую также называли функцией омега.

Константа омега равна примерно 0.5671432904097838729999686622.... Для нее имеет место

$e^{-\Omega }=\Omega ,\,$

или, эквивалентно,

$\ln \Omega =-\Omega .\,$

Ω можно посчитать итеративным методом, начав с догадки Ω₀ и рассматривая последовательность

$\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.\,$ ,

которая сходится к Ω когда n→∞, ибо $\Omega$ это притягивающая неподвижная точка функции $e^{-x}$.

Гораздо экономнее использовать итерацию

$\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},$

так как функция

$f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}}$

имеет ту же неподвижную точку, но с нулевой производной, отчего сходимость квадратична: число верных цифр примерно удваивается каждый раз.

Еще «башня степеней» Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle Ω = u^{u^{...}}} , где $u=1/e$.