Логики с векторной семантикой

Логики с векторной семантикой — класс логик, в которых истинность суждения $a$ формализуется вектором с произвольным (в общем случае) числом компонентов: $\|a\|=\langle a^{1};a^{2};...;a^{n}\rangle$, где $a^{i}\in [0,1]$.

Вектор истинности, аспекты истинности

Позиции компонентов в векторе называются аспектами истинности, а их значения — значениями этих аспектов. Значения аспектов в общем случае взаимонезависимы. Каждое значение отражает степень соответствия суждения реальности (по данному аспекту) и определяется соответствующим комплексом свидетельств. При этом не зависимо от содержательного смысла аспектов истинности, все они делятся на два класса. В первом случае истинность, выраженная вектором $\langle a^{1};a^{2};...;a^{i};...;a^{n}\rangle$, говорит о большем соответствии суждения реальности, чем $\langle a^{1};a^{2};...;a^{i'};...;a^{n}\rangle$, если $a^{i}\geqslant a^{i'}$. Во втором — если $a^{i}\leqslant a^{i'}$. Иначе говоря, рост (убывание) аспектов первого и второго типа влияют на истинность, как показатель соответствия, взаимно противоположным образом. Аспекты первого типа названы позитивными, а второго — негативными. Чтобы их различать используются индексы $+$ и $-$. Например, $\langle a^{+};a^{-}\rangle$, $\langle 0.5^{+};0.2^{+};0.9^{-}\rangle$, и так далее. Если порядок следования аспектов в векторе таков, что сначала указываются позитивные компоненты, говорится о нормальной форме в.и.: $\langle a^{1+};a^{2+};...;a^{i+};a^{(i+1)-};...;a^{n-}\rangle$.

Если содержательный смысл аспектов истинности не важен и их число не оговаривается, говорится о многоаспектных векторных логиках ($V^{n}$-логиках). Иначе — о двухаспектных ($V^{2}$), трехаспектных($V^{3}$) и т. д. логиках.

Если существенна содержательная сторона аспектов, это может быть отражено в наименовании. Например $V^{\mathrm {TF} }$-логика — это 2-аспектная векторная логика с аспектами Истина и Ложь: $\langle True;False\rangle$.

Сложные суждения

Для построения сложных суждений в логиках с векторной семантикой рассматриваются следующие типы логических связок: 1-я и 2-я форма конъюнкции, 1-я и 2-я форма дизъюнкции и две формы отрицания.

Определение 1. Первой формой конъюнкции двух суждений $a$ и $b$ называется суждение $c=a\&b$, значения аспектов истинности которого определяются по правилу:

$c^{i}=a^{i}\bullet b^{i}$, если аспект позитивный;

$c^{i}=a^{i}\oplus b^{i}$, если аспект негативный.

Определение 2. Второй формой конъюнкции двух суждений $a$ и $b$ называется суждение $c=a\&_{2}b$, значения аспектов истинности которого определяются по правилу:

$c^{i}=a^{i}\bullet b^{i}$.

Определение 3. Первой формой дизъюнкции двух суждений $a$ и $b$ называется суждение $c=a\lor b$, значения аспектов истинности которого определяются по правилу:

$c^{i}=a^{i}\oplus b^{i}$, если аспект позитивный;

$c^{i}=a^{i}\bullet b^{i}$, если аспект негативный.

Определение 4. Второй формой дизъюнкции двух суждений $a$ и $b$ называется суждение $c=a\lor _{2}b$, значения аспектов истинности которого определяются по правилу:

$c^{i}=a^{i}\oplus b^{i}$.

Здесь $x\bullet y$- t-норма, $x\oplus y$ — t-конорма (s-норма) в инфиксной записи. Примерами являются пары функций:

$x\bullet y=min(x,y)$;

$x\oplus y=max(x,y)$;

$x\bullet y=max(0,x+y-1)$;

$x\oplus y=min(1,x+y)$;

$x\bullet y=xy$;

$x\oplus y=x+y-xy$.

Первые формы конъюнкции и дизъюнкции — это обобщения классических конъюнкции и дизъюнкции на векторный случай. Вторые возможны только в векторном случае.

Определение 5. Первой формой отрицания (отрицанием в форме перестановки) называется суждение $\neg a$, истинность которого получается из $\|a\|$ путём перестановки местами значений позитивных и негативных компонентов (позитивные компоненты объявляются негативными, а негативные позитивными). Например, для $V^{\mathrm {TF} }$-логик это выглядит как: $\|\neg a\|=\langle a^{-};a^{+}\rangle$.

Эта форма отрицания привязана к содержательному смыслу аспектов истинности и потому применима не для всех в.и.

Определение 6. Второй формой отрицания является отрицание в форме дополнения: $\|\!\sim \!a\|=\langle 1-a^{1};1-a^{2};...;1-a^{n}\rangle$.

Для этой формы отрицания выполняются законы де Моргана в виде:

$\|\!\sim \!\!(a\&b)\|=\|\!\sim \!\!a\lor \!\sim \!\!b\|$;

$\|\!\sim \!\!(a\lor b)\|=\|\!\sim \!\!a\&\!\sim \!\!b$\|;

$\|\!\sim \!\!(a\&_{2}b)\|=\|\!\sim \!\!a\lor _{2}\!\sim \!\!b\|$;

$\|\!\sim \!\!(a\lor _{2}b)\|=\|\!\sim \!\!a\&_{2}\!\sim \!\!b\|$.

Данная форма отрицания может использоваться для любых в.и.

Кванторы

Кванторы всеобщности и существования также приобретают две формы. Их первая форма связана с первой формой связок конъюнкции и дизъюнкции по всем значениям предметной переменной, вторая форма — второй формой этих связок.

Отношения суждений

Между суждениями в логиках с векторной семантикой можно устанавливать отношения, аналогичные отношениям импликации и эквивалентности в классической логике

Определение 7. Суждение $a$ сильнее суждения $b$ ($a$ доминирует над $b$, записывается $a\gg b$), если $a^{i}\geqslant b^{i}$ для всех $i$; то есть, если значения всех аспектов вектора $\|a\|$ не меньше значений соответствующих аспектов вектора $\|b\|$.

Определение 8. Суждение $a$ слабее суждения $b$ ($b$ доминирует над $a$, записывается $a\ll b$), если $a^{i}\leqslant b^{i}$ для всех $i$; то есть, значения аспектов вектора $\|a\|$ не больше соответствующих значения аспектов вектора $\|b\|$.

Определение 9. Суждение $a$ правдоподобнее суждения $b$ (записывается $a>b$), если $a^{i}\geqslant b^{i}$, для всех позитивных аспектов и $a^{i}\leqslant b^{i}$, для всех негативных аспектов; то есть, если все аспекты вектора $\|a\|$ «не хуже» соответствующих аспектов вектора $\|b\|$ в «логическом» смысле.

Определение 10. Суждение $a$ менее правдоподобно, чем суждение $b$ (записывается $a<b$), если $a^{i}\leqslant b^{i}$, для всех позитивных аспектов и $a^{i}\geqslant b^{i}$, для всех негативных аспектов; то есть, если все аспекты вектора $\|a\|$ «не лучше» соответствующих аспектов вектора $\|b\|$ в «логическом» смысле. Данные отношения отношениями называются отношениями доминирования и правдоподобия.

Определение 11. Суждение $a$ логически эквивалентно суждению $b$ $(a=b)$, если $a<b$ и $a>b$ (а также $a\ll b$ и $a\gg b$). В любом из этих случаев $a^{i}=b^{i}$, для всех $i$.

Логический вывод

Аналогия между отношениями правдоподобия и доминирования и классической импликацией позволяет ввести аналоги правила modus ponens:

$a,a\ll b\vdash b:\|b\|=\|a\|\div \langle 1;...;1\rangle$;

$a,a<b\vdash b:\|b\|=\|a\|\div \langle 1^{+};...;1^{+};0^{-},...,0^{-}\rangle$.

Запись после двоеточия указывает область возможных значений вектор истинности для $b$:

$\|b\|\in [a^{1},1]\times [a^{2},1]\times ...\times [a^{n},1]$;

— в первом случае и

$\|b\|\in [a^{1+},1]\times [a^{2+},1]\times ...\times [a^{i+},1]\times [0,a^{(i+1)-}]\times [0,a^{(i+2)-}]\times ...\times [0,a^{n-}]$;

— во втором (здесь учитывается наличие позитивных и негативных аспектов).

Ещё один вид логического вывода, который отчасти может быть обобщен на вектор произвольной размерности, рассматривается в связи с $V^{\mathrm {TF} }$-логиками.

V^TF-логики

Наиболее изученным классом логик с векторной семантикой являются 2-аспектные векторные логики с аспектами Истина и Ложь. Они наиболее близки к таким практически востребованным формализмам как классическая и нечеткая логики (являются их обобщением), а также обобщает некоторые паранепротиворечивые (например, логику Данна) и иные виды логик .

Для этого класса логик $\|a\|=\langle a^{+};a^{-}\rangle$¸ где $a^{+}$ — мера того, что суждение a есть Истина, $a^{-}$ — мера того, что оно есть Ложь. Меры Истины и Лжи в общем случае устанавливаются независимо друг тот друга, каждая по своему комплексу свидетельств. Иллюстрация вектора истинности для $V^{\mathrm {TF} }$-логик представлена на рис. 1. Здесь Н — «Неопределенность» — вектор с компонентами $\langle 0;0\rangle$, Л — «Строгая ложь» — вектор с компонентами $\langle 0;1\rangle$, П — «Полное противоречие» — вектор с компонентами $\langle 1;1\rangle$, И — «Строгая истина» — вектор с компонентами $\langle 1;0\rangle$.

Рис. 1. Иллюстрация к понятию вектора истинности для $V^{\mathrm {TF} }$-логик

Для $V^{\mathrm {TF} }$-логик первая и вторая форма конъюнкции, дизъюнкции и отрицания определятся как:

$\|a\&b\|=\langle a^{+}\bullet b^{+};a^{-}\oplus b^{-}\rangle$;

$\|a\&_{2}b\|=\langle a^{+}\bullet b^{+};a^{-}\bullet b^{-}\rangle$;

$\|a\lor b\|=\langle a^{+}\oplus b+;a^{-}\bullet b^{-}\rangle$;

$\|a\lor _{2}b\|=\langle a^{+}\oplus b+;a^{-}\oplus b^{-}\rangle$;

$\|\neg a\|=\langle a^{-};a^{+}\rangle$;

$\|\!\sim \!\!a\|=\langle 1-a^{+};1-a^{-}\rangle$.

Первые формы конъюнкции и дизъюнкции здесь — это обобщения классических конъюнкции и дизъюнкции на векторный случай. Вторые существуют только в векторной семантике. Первая и вторая формы отрицания при переходе к классической и нечеткой семантике дают одну и ту же форму отрицания: классическую либо нечеткую. В $V^{\mathrm {TF} }$-семантике эти отрицания различаются. Первое — это отрицание в смысле перестановки свидетельств (позитивные меняются с негативными), второе — отрицание в силу недостатка информации. Справедливы свойства:

$\neg (a\lor b)=\neg a\&\neg b$;

$\neg (a\&b)=\neg a\lor \neg b$.

а также вышеприведенные законы де Моргана для второй формы отрицания.

Кроме того, выполняются соотношения:

$a<a\lor b$;

$a\&b<a$;

$a\ll a\lor _{2}b$;

$a\&_{2}b\ll a$.

Отношения между суждениями для $V^{\mathrm {TF} }$-логик представлены на рис. 2. Здесь $a\ll b,c\ll b,a<c$.

Рис. 2. Иллюстрация отношений правдоподобия и доминирования для $V^{\mathrm {TF} }$-логик

Логический вывод в VTF-логиках, помимо упомянутого выше, может выполняться с использованием следующих двух правил, аналогов классических modus ponens (Н-MP) и modus tollens (Н-MT):

H-MP: $a,a\to b\vdash b:\|b\|=\|a\&i\|=\langle a^{+}\bullet i^{+};a^{-}\oplus i^{-}\rangle \div \langle 1;0\rangle$;

H-MT: $\neg b,a\to b\vdash \neg a:\|\neg a\|=\|\neg a\&i\|=\langle a^{-}\bullet i^{+};a^{+}\oplus i^{-}\rangle \div \langle 1;0\rangle$.

Здесь $a\to b$ — импликация «Если a, то b» — характерная единица знаний многих экспертных систем, ядро т. н. «продукции». В них она обычно рассматривается как неделимое целое. Её истинность задается экспертом, что естественно для таких задач. Кроме того, использовано обозначение: $\|a\to b\|=\|i\|=\langle i^{+};i^{-}\rangle$. Через двоеточие указана схема расчёта истинности заключения на основе истинностей малой и большой посылок.

Скалярные меры. Суждения в $V^{\mathrm {TF} }$-логиках могут характеризоваться рядом скалярных мер.

1. Мера определённости (определённость):

μ_О$(a)=a^{+}\oplus a^{-}$.

2. Мера противоречия (противоречивость):

μ_П$(a)=a^{+}\bullet a^{-}$.

3. Показатель достоверности (достоверность):

μ_Д$(a)=a^{+}-a^{-}$.

4. Мера строгости (строгость):

μ_С$(a)=\mu _{O}(a)-\mu _{\Pi }(a)=a^{+}\oplus a^{-}-a^{+}\bullet a^{-}$;

или

μ_С$(a)$ = |μ_Д $(a)$| = $|a^{+}-a^{-}|$.

5. Показатель избыточности (избыточность):

μ_изб$(a)=a^{+}+a^{-}-1$.

Для VTF-логик выполнено обобщение на интервальное представление в.и.:

$\|a\|=\langle [a_{1}^{+},a_{2}^{+}];[a_{1}^{-},a_{2}^{-}]\rangle$.

Для интервального в.и. целесообразно использовать также меру точности, которая должна быть максимальной, при $a_{1}^{+}=a_{2}^{+}$ и $a_{1}^{-}=a_{2}^{-}$ и минимальной, если $\|a\|=\langle [0,1];[0,1]\rangle$. Эту роль может исполнять показатель:

μ_тчн$(a)=1-{\sqrt {\frac {(a_{2}^{+}-a_{1}^{+})^{2}+(a_{2}^{-}-a_{1}^{-})^{2}}{2}}}$.

Проблемы л. с в.с. и следствия из них

Представление истинности вектором ставит ряд вопросов. Первый — содержательная интерпретация аспектов истинности. Здесь возможны как минимум два взгляда.

1. Аспекты истинности — это обычные нечеткие значения истинности, характеризующие объект с разных позиций. Например, истинность суждения «Автомобиль комфортабелен» можно характеризовать с позиций качества отделки салона, мощности двигателя, шумоизоляции салона и т. п. Соответственно, истинность $\langle 0.3;0.5;0.8;...\rangle$ означает, что качество отделки салона невысоко, мощность двигателя средняя, шумоизоляция хорошая, и так далее. Вектор здесь — обычный нечеткий вектор, компоненты которого принимают значения из отрезка $[0,1]$.

2. Аспекты — категории истинности, вроде Истины и Лжи. Значения компонентов здесь — степени выраженности соответствующей категории, определяемые поступившими свидетельствами или по иным соображениям (например, экспертно). Этот взгляд рассматриваем как основной.

При втором взгляде автоматически возникает вопрос о числе и характере аспектов истинности, исчерпывающим образом описывающих реальность. Если становиться на позиции, близкие к классической логике, их всего два: Истина и Ложь. В нейтрософской логике Ф. Смарандаке три: Истина, Ложь и Неопределенность (Нейтральность) . Однако принципиальной особенностью логик с в.с. является допущение сколь угодного количества аспектов истинности, или, что то же самое, сколь угодно большого количества компонентов вектора $\langle a^{1};...;a^{n}\rangle$. «Неучтенные» аспекты проецируются в точку $\langle 0;...;0\rangle$. В этом смысле л. с в.с. действительно свободны от принципов противоречия и исключенного третьего. При этом любой набор аспектов истинности сводится к полному введением «замыкания» — фиктивного компонента $a^{n+1}$ со значением:

$a^{n+1}=1-a^{1}\oplus ...\oplus a^{n}$.

В этом случае:

$a^{1}\oplus ...\oplus a^{n}\oplus a^{n+1}>0$;

что можно рассматривать как полноту в.и. Однако, вопрос о том, сколько и каких аспектов истинности исчерпывающим образом описывают реальность остается, хотя и переходит больше в философскую плоскость. Если их выявить, все возможные логические семантики могут быть построены на этой основе. Так, вводя ограничение $a^{+}+a^{-}=1$, получаем из $V^{\mathrm {TF} }$-семантики нечеткую, дополнительное ограничение $a^{+},a^{-}\in \{0,1\}$ превращает её в классическую; ограничение $\|a\|\in \{\langle 0;0\rangle ,\langle 1;1\rangle \}$ порождает похожую на классическую логику с константами {«неопределенность», «противоречие»}, и т. д. Можно говорить об 1-аспектных (например, с аспектом только Истина или только Ложь) логиках и даже 0-аспектной логике $V^{0}$, суждения которой вообще лишены какого-либо смысла. Формирование новых — сверх Истины и Лжи — аспектов истинности, и построение полного множества таких аспектов, если оно существует, — второй значимый вопрос л. с в.с.

Двумя очевидными следствиями л. с в.с. является расширенный взгляд на теорию множеств и теорию вероятностей. Если истинность утверждение о принадлежности объекта $x$ множеству $X$ считать вектором: $\|x\in X\|=\langle x^{1};...;x^{n}\rangle$, это в общем случае приводит к расширению понятия множества.

В теории вероятности вероятность становится векторной, если принять векторный характер истинности утверждения о принадлежности элементарного случайного события $e\in \Omega$ случайному событию $A\subseteq \Omega$: $\|e\in A\|=\langle e^{1};...;e^{n}\rangle$. Соответствующие обобщения для $V^{\mathrm {TF} }$-логик частично рассмотрены в «Векторные логики: основания, концепции, модели» (Иркутск, 2007).

Наконец ещё одним следствием векторной семантики является, как представляется, проблема коммуникации. При наличии двух субъектов, мыслящих в «ортогональных логических координатах», суждения, осмысленные для одного из них, могут оказаться лишенными смысла для другого: он «спроецирует» их в точку $\langle 0;...;0\rangle$.

Литература

• Аршинский Л. В. Методы обработки нестрогих высказываний (препринт). — Иркутск: Изд-во Восточно-Сибирского института МВД России. — 1998. — 40 c.
• Аршинский Л. В. Многозначные логики с векторной семантикой // Logical Studies , 2004, — № 12. — Режим доступа к журн.: https://web.archive.org/web/20070220152010/http://www.logic.ru/Russian/LogStud/12/LS12.html
• Аршинский Л. В. Основания векторизации истинности в логико-математических моделях обработки данных // Проблемы управления, 2006. — № 5. — С. 63-67.
• Аршинский Л. В. Содержательный и формальный выводы в логиках с векторной семантикой // Автоматика и телемеханика, 2007. — № 1. — С. 153—162.
• Аршинский Л.В. Векторные логики: основания, концепции, модели. — Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 2007. — 228 с.