Логики с векторной семантикой

Логики с векторной семантикой — класс логик, в которых истинность суждения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} формализуется вектором с произвольным (в общем случае) числом компонентов: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \|a\|=\langle a^1;a^2;...;a^n\rangle} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^i\in [0,1]} .

Вектор истинности, аспекты истинности[править]

Позиции компонентов в векторе называются аспектами истинности, а их значения — значениями этих аспектов. Значения аспектов в общем случае взаимонезависимы. Каждое значение отражает степень соответствия суждения реальности (по данному аспекту) и определяется соответствующим комплексом свидетельств. При этом не зависимо от содержательного смысла аспектов истинности, все они делятся на два класса. В первом случае истинность, выраженная вектором Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \langle a^1;a^2;...;a^i;...;a^n\rangle} , говорит о большем соответствии суждения реальности, чем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \langle a^1;a^2;...;a^{i'};...;a^n\rangle} , если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^i\geqslant a^{i'}} . Во втором — если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^i\leqslant a^{i'}} . Иначе говоря, рост (убывание) аспектов первого и второго типа влияют на истинность, как показатель соответствия, взаимно противоположным образом. Аспекты первого типа названы позитивными, а второго — негативными. Чтобы их различать используются индексы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -} . Например, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \langle a^+;a^-\rangle} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \langle0.5^+;0.2^+;0.9^-\rangle} , и так далее. Если порядок следования аспектов в векторе таков, что сначала указываются позитивные компоненты, говорится о нормальной форме в.и.: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \langle a^{1+};a^{2+};...;a^{i+};a^{(i+1)-};...;a^{n-}\rangle} .

Если содержательный смысл аспектов истинности не важен и их число не оговаривается, говорится о многоаспектных векторных логиках (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V^n} -логиках). Иначе — о двухаспектных (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V^2} ), трехаспектных(Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V^3} ) и т. д. логиках.

Если существенна содержательная сторона аспектов, это может быть отражено в наименовании. Например Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V^\mathrm{TF}} -логика — это 2-аспектная векторная логика с аспектами Истина и Ложь: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \langle True;False\rangle} .

Сложные суждения[править]

Для построения сложных суждений в логиках с векторной семантикой рассматриваются следующие типы логических связок: 1-я и 2-я форма конъюнкции, 1-я и 2-я форма дизъюнкции и две формы отрицания.

Определение 1. Первой формой конъюнкции двух суждений Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} называется суждение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c=a\& b} , значения аспектов истинности которого определяются по правилу:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c^i=a^i\bullet b^i} , если аспект позитивный;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c^i=a^i\oplus b^i} , если аспект негативный.

Определение 2. Второй формой конъюнкции двух суждений Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} называется суждение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c=a\&_2 b} , значения аспектов истинности которого определяются по правилу:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c^i=a^i\bullet b^i} .

Определение 3. Первой формой дизъюнкции двух суждений Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} называется суждение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c=a\lor b} , значения аспектов истинности которого определяются по правилу:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c^i=a^i\oplus b^i} , если аспект позитивный;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c^i=a^i\bullet b^i} , если аспект негативный.

Определение 4. Второй формой дизъюнкции двух суждений Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} называется суждение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c=a\lor _2 b} , значения аспектов истинности которого определяются по правилу:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c^i=a^i\oplus b^i} .

Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\bullet y} - t-норма, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\oplus y} — t-конорма (s-норма) в инфиксной записи. Примерами являются пары функций:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\bullet y = min(x,y)} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\oplus y = max(x,y)} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\bullet y=max(0,x+y-1)} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\oplus y=min(1,x+y)} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\bullet y = xy} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\oplus y=x+y-xy} .

Первые формы конъюнкции и дизъюнкции — это обобщения классических конъюнкции и дизъюнкции на векторный случай. Вторые возможны только в векторном случае.

Определение 5. Первой формой отрицания (отрицанием в форме перестановки) называется суждение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg a} , истинность которого получается из Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \|a\|} путём перестановки местами значений позитивных и негативных компонентов (позитивные компоненты объявляются негативными, а негативные позитивными). Например, для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V^\mathrm{TF}} -логик это выглядит как: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \|\neg a\|=\langle a^-;a^+\rangle} .

Эта форма отрицания привязана к содержательному смыслу аспектов истинности и потому применима не для всех в.и.

Определение 6. Второй формой отрицания является отрицание в форме дополнения: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \|\!\sim\! a\|=\langle 1-a^1;1-a^2;...;1-a^n\rangle} .

Для этой формы отрицания выполняются законы де Моргана в виде:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \|\!\sim\!\!(a \& b)\|= \|\!\sim\!\! a \lor \!\sim\!\! b\|} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \|\!\sim\!\!(a \lor b)\|= \|\!\sim\!\! a \& \!\sim\!\! b} \|;

$\|\!\sim \!\!(a\&_{2}b)\|=\|\!\sim \!\!a\lor _{2}\!\sim \!\!b\|$ ;

$\|\!\sim \!\!(a\lor _{2}b)\|=\|\!\sim \!\!a\&_{2}\!\sim \!\!b\|$ .

Данная форма отрицания может использоваться для любых в.и.

Кванторы[править]

Кванторы всеобщности и существования также приобретают две формы. Их первая форма связана с первой формой связок конъюнкции и дизъюнкции по всем значениям предметной переменной, вторая форма — второй формой этих связок.

Отношения суждений[править]

Между суждениями в логиках с векторной семантикой можно устанавливать отношения, аналогичные отношениям импликации и эквивалентности в классической логике

Определение 7. Суждение $a$ сильнее суждения $b$ ( $a$ доминирует над $b$ , записывается $a\gg b$ ), если $a^{i}\geqslant b^{i}$ для всех $i$ ; то есть, если значения всех аспектов вектора $\|a\|$ не меньше значений соответствующих аспектов вектора $\|b\|$ .

Определение 8. Суждение $a$ слабее суждения $b$ ( $b$ доминирует над $a$ , записывается $a\ll b$ ), если $a^{i}\leqslant b^{i}$ для всех $i$ ; то есть, значения аспектов вектора $\|a\|$ не больше соответствующих значения аспектов вектора $\|b\|$ .

Определение 9. Суждение $a$ правдоподобнее суждения $b$ (записывается $a>b$ ), если $a^{i}\geqslant b^{i}$ , для всех позитивных аспектов и $a^{i}\leqslant b^{i}$ , для всех негативных аспектов; то есть, если все аспекты вектора $\|a\|$ «не хуже» соответствующих аспектов вектора $\|b\|$ в «логическом» смысле.

Определение 10. Суждение $a$ менее правдоподобно, чем суждение $b$ (записывается $a<b$ ), если $a^{i}\leqslant b^{i}$ , для всех позитивных аспектов и $a^{i}\geqslant b^{i}$ , для всех негативных аспектов; то есть, если все аспекты вектора $\|a\|$ «не лучше» соответствующих аспектов вектора $\|b\|$ в «логическом» смысле. Данные отношения отношениями называются отношениями доминирования и правдоподобия.

Определение 11. Суждение $a$ логически эквивалентно суждению $b$ $(a=b)$ , если $a<b$ и $a>b$ (а также $a\ll b$ и $a\gg b$ ). В любом из этих случаев $a^{i}=b^{i}$ , для всех $i$ .

Логический вывод[править]

Аналогия между отношениями правдоподобия и доминирования и классической импликацией позволяет ввести аналоги правила modus ponens:

$a,a\ll b\vdash b:\|b\|=\|a\|\div \langle 1;...;1\rangle$ ;

$a,a<b\vdash b:\|b\|=\|a\|\div \langle 1^{+};...;1^{+};0^{-},...,0^{-}\rangle$ .

Запись после двоеточия указывает область возможных значений вектор истинности для $b$ :

$\|b\|\in [a^{1},1]\times [a^{2},1]\times ...\times [a^{n},1]$ ;

— в первом случае и

$\|b\|\in [a^{1+},1]\times [a^{2+},1]\times ...\times [a^{i+},1]\times [0,a^{(i+1)-}]\times [0,a^{(i+2)-}]\times ...\times [0,a^{n-}]$ ;

— во втором (здесь учитывается наличие позитивных и негативных аспектов).

Ещё один вид логического вывода, который отчасти может быть обобщен на вектор произвольной размерности, рассматривается в связи с $V^{\mathrm {TF} }$ -логиками.

V^TF-логики[править]

Наиболее изученным классом логик с векторной семантикой являются 2-аспектные векторные логики с аспектами Истина и Ложь. Они наиболее близки к таким практически востребованным формализмам как классическая и нечеткая логики (являются их обобщением), а также обобщает некоторые паранепротиворечивые (например, логику Данна^[1]) и иные виды логик ^[2] ^[3].

Для этого класса логик $\|a\|=\langle a^{+};a^{-}\rangle$ ¸ где $a^{+}$ — мера того, что суждение a есть Истина, $a^{-}$ — мера того, что оно есть Ложь. Меры Истины и Лжи в общем случае устанавливаются независимо друг тот друга, каждая по своему комплексу свидетельств. Иллюстрация вектора истинности для $V^{\mathrm {TF} }$ -логик представлена на рис. 1. Здесь Н — «Неопределенность» — вектор с компонентами $\langle 0;0\rangle$ , Л — «Строгая ложь» — вектор с компонентами $\langle 0;1\rangle$ , П — «Полное противоречие» — вектор с компонентами $\langle 1;1\rangle$ , И — «Строгая истина» — вектор с компонентами $\langle 1;0\rangle$ .

Файл:К понятию вектора истинности для VTF-логик.png

Рис. 1. Иллюстрация к понятию вектора истинности для

V^{\mathrm {TF} }

-логик

Для $V^{\mathrm {TF} }$ -логик первая и вторая форма конъюнкции, дизъюнкции и отрицания определятся как:

$\|a\&b\|=\langle a^{+}\bullet b^{+};a^{-}\oplus b^{-}\rangle$ ;

$\|a\&_{2}b\|=\langle a^{+}\bullet b^{+};a^{-}\bullet b^{-}\rangle$ ;

$\|a\lor b\|=\langle a^{+}\oplus b+;a^{-}\bullet b^{-}\rangle$ ;

$\|a\lor _{2}b\|=\langle a^{+}\oplus b+;a^{-}\oplus b^{-}\rangle$ ;

$\|\neg a\|=\langle a^{-};a^{+}\rangle$ ;

$\|\!\sim \!\!a\|=\langle 1-a^{+};1-a^{-}\rangle$ .

Первые формы конъюнкции и дизъюнкции здесь — это обобщения классических конъюнкции и дизъюнкции на векторный случай. Вторые существуют только в векторной семантике. Первая и вторая формы отрицания при переходе к классической и нечеткой семантике дают одну и ту же форму отрицания: классическую либо нечеткую. В $V^{\mathrm {TF} }$ -семантике эти отрицания различаются. Первое — это отрицание в смысле перестановки свидетельств (позитивные меняются с негативными), второе — отрицание в силу недостатка информации. Справедливы свойства:

$\neg (a\lor b)=\neg a\&\neg b$ ;

$\neg (a\&b)=\neg a\lor \neg b$ .

а также вышеприведенные законы де Моргана для второй формы отрицания.

Кроме того, выполняются соотношения:

$a<a\lor b$ ;

$a\&b<a$ ;

$a\ll a\lor _{2}b$ ;

$a\&_{2}b\ll a$ .

Отношения между суждениями для $V^{\mathrm {TF} }$ -логик представлены на рис. 2. Здесь $a\ll b,c\ll b,a<c$ .

Файл:К понятию отношений правдоподобия и доминирования для VTF-логик.png

Рис. 2. Иллюстрация отношений правдоподобия и доминирования для

V^{\mathrm {TF} }

-логик

Логический вывод в VTF-логиках, помимо упомянутого выше, может выполняться с использованием следующих двух правил, аналогов классических modus ponens (Н-MP) и modus tollens (Н-MT):

H-MP: $a,a\to b\vdash b:\|b\|=\|a\&i\|=\langle a^{+}\bullet i^{+};a^{-}\oplus i^{-}\rangle \div \langle 1;0\rangle$ ;

H-MT: $\neg b,a\to b\vdash \neg a:\|\neg a\|=\|\neg a\&i\|=\langle a^{-}\bullet i^{+};a^{+}\oplus i^{-}\rangle \div \langle 1;0\rangle$ .

Здесь $a\to b$ — импликация «Если a, то b» — характерная единица знаний многих экспертных систем, ядро т. н. «продукции». В них она обычно рассматривается как неделимое целое. Её истинность задается экспертом, что естественно для таких задач. Кроме того, использовано обозначение: $\|a\to b\|=\|i\|=\langle i^{+};i^{-}\rangle$ . Через двоеточие указана схема расчёта истинности заключения на основе истинностей малой и большой посылок.

Скалярные меры. Суждения в $V^{\mathrm {TF} }$ -логиках могут характеризоваться рядом скалярных мер.

1. Мера определённости (определённость):

μ_О $(a)=a^{+}\oplus a^{-}$ .

2. Мера противоречия (противоречивость):

μ_П $(a)=a^{+}\bullet a^{-}$ .

3. Показатель достоверности (достоверность):

μ_Д $(a)=a^{+}-a^{-}$ .

4. Мера строгости (строгость):

μ_С $(a)=\mu _{O}(a)-\mu _{\Pi }(a)=a^{+}\oplus a^{-}-a^{+}\bullet a^{-}$ ;

или

μ_С $(a)$ = |μ_Д $(a)$ | = $|a^{+}-a^{-}|$ .

5. Показатель избыточности (избыточность):

μ_изб $(a)=a^{+}+a^{-}-1$ .

Для VTF-логик выполнено обобщение на интервальное представление в.и.^[4]:

$\|a\|=\langle [a_{1}^{+},a_{2}^{+}];[a_{1}^{-},a_{2}^{-}]\rangle$ .

Для интервального в.и. целесообразно использовать также меру точности, которая должна быть максимальной, при $a_{1}^{+}=a_{2}^{+}$ и $a_{1}^{-}=a_{2}^{-}$ и минимальной, если $\|a\|=\langle [0,1];[0,1]\rangle$ . Эту роль может исполнять показатель:

μ_тчн $(a)=1-{\sqrt {\frac {(a_{2}^{+}-a_{1}^{+})^{2}+(a_{2}^{-}-a_{1}^{-})^{2}}{2}}}$ .

Проблемы л. с в.с. и следствия из них[править]

Представление истинности вектором ставит ряд вопросов. Первый — содержательная интерпретация аспектов истинности. Здесь возможны как минимум два взгляда.

1. Аспекты истинности — это обычные нечеткие значения истинности, характеризующие объект с разных позиций. Например, истинность суждения «Автомобиль комфортабелен» можно характеризовать с позиций качества отделки салона, мощности двигателя, шумоизоляции салона и т. п. Соответственно, истинность $\langle 0.3;0.5;0.8;...\rangle$ означает, что качество отделки салона невысоко, мощность двигателя средняя, шумоизоляция хорошая, и так далее. Вектор здесь — обычный нечеткий вектор, компоненты которого принимают значения из отрезка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [0,1]} .

2. Аспекты — категории истинности, вроде Истины и Лжи. Значения компонентов здесь — степени выраженности соответствующей категории, определяемые поступившими свидетельствами или по иным соображениям (например, экспертно). Этот взгляд рассматриваем как основной.

При втором взгляде автоматически возникает вопрос о числе и характере аспектов истинности, исчерпывающим образом описывающих реальность. Если становиться на позиции, близкие к классической логике, их всего два: Истина и Ложь. В нейтрософской логике Ф. Смарандаке три: Истина, Ложь и Неопределенность (Нейтральность) ^[5] ^[6]. Однако принципиальной особенностью логик с в.с. является допущение сколь угодного количества аспектов истинности, или, что то же самое, сколь угодно большого количества компонентов вектора $\langle a^{1};...;a^{n}\rangle$ . «Неучтенные» аспекты проецируются в точку $\langle 0;...;0\rangle$ . В этом смысле л. с в.с. действительно свободны от принципов противоречия и исключенного третьего. При этом любой набор аспектов истинности сводится к полному введением «замыкания» — фиктивного компонента $a^{n+1}$ со значением:

$a^{n+1}=1-a^{1}\oplus ...\oplus a^{n}$ .

В этом случае:

$a^{1}\oplus ...\oplus a^{n}\oplus a^{n+1}>0$ ;

что можно рассматривать как полноту в.и. Однако, вопрос о том, сколько и каких аспектов истинности исчерпывающим образом описывают реальность остается, хотя и переходит больше в философскую плоскость. Если их выявить, все возможные логические семантики могут быть построены на этой основе. Так, вводя ограничение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^+ + a^- = 1} , получаем из Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V^\mathrm{TF}} -семантики нечеткую, дополнительное ограничение $a^{+},a^{-}\in \{0,1\}$ превращает её в классическую; ограничение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \|a\|\in \{\langle 0;0\rangle,\langle 1;1\rangle\}} порождает похожую на классическую логику с константами {«неопределенность», «противоречие»}^[3], и т. д. Можно говорить об 1-аспектных (например, с аспектом только Истина или только Ложь) логиках и даже 0-аспектной логике Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V^0} , суждения которой вообще лишены какого-либо смысла. Формирование новых — сверх Истины и Лжи — аспектов истинности, и построение полного множества таких аспектов, если оно существует, — второй значимый вопрос л. с в.с.

Двумя очевидными следствиями л. с в.с. является расширенный взгляд на теорию множеств и теорию вероятностей. Если истинность утверждение о принадлежности объекта Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} множеству Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} считать вектором: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \|x\in X\| = \langle x^1;...;x^n\rangle} , это в общем случае приводит к расширению понятия множества.

В теории вероятности вероятность становится векторной, если принять векторный характер истинности утверждения о принадлежности элементарного случайного события Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e\in \Omega} случайному событию Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\subseteq\Omega} : Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \|e\in A\|=\langle e^1;...;e^n\rangle} . Соответствующие обобщения для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V^\mathrm{TF}} -логик частично рассмотрены в «Векторные логики: основания, концепции, модели» (Иркутск, 2007).

Наконец ещё одним следствием векторной семантики является, как представляется, проблема коммуникации. При наличии двух субъектов, мыслящих в «ортогональных логических координатах», суждения, осмысленные для одного из них, могут оказаться лишенными смысла для другого: он «спроецирует» их в точку Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \langle 0;...; 0\rangle} .

Примечания[править]

↑ Dunn J.M. Algebra of Intensional Logics. Doctoral Dissertation University of Pitts-burg, Ann Arbor, 1966.
↑ Моросанова Н. А. Методы вычисления оценок уверенности формально построенных выводов: автореф. дис. : канд. физ.-мат. наук: 05.13.11 / Н. А. Моросанова. — Москва, 2013. — 14 с. (см. т.ж. http://en.cs.msu.ru/sites/cmc/files/theses/201311-mna.pdf Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine)
↑ ^3,0 ^3,1 Аршинский Л. В. О семантиках классической логики // Logical Studies , 2000. — № 5. — Режим доступа к журн.: http://www.logic.ru/Russian/LogStud/05/LS5.html Архивная копия от 19 января 2007 на Wayback Machine
↑ ВЛОКМ, 2007.
↑ Smarandache F. Neutrosophy: Neutrosophic Probability, Set and Logic. — American Research Press, Rehoboth, 1998. — 105 p.
↑ Смарандаке Ф. Сущность нейтрософии /пер. с англ. — Hexis Publishers, Phoenix, Arizona, 2006. — 33 c. (см. т.ж. http://fs.gallup.unm.edu/SushnostiNeytrosofii.pdf)

Литература[править]

Аршинский Л. В. Методы обработки нестрогих высказываний (препринт). — Иркутск: Изд-во Восточно-Сибирского института МВД России. — 1998. — 40 c.
Аршинский Л. В. Многозначные логики с векторной семантикой // Logical Studies , 2004, — № 12. — Режим доступа к журн.: https://web.archive.org/web/20070220152010/http://www.logic.ru/Russian/LogStud/12/LS12.html
Аршинский Л. В. Основания векторизации истинности в логико-математических моделях обработки данных // Проблемы управления, 2006. — № 5. — С. 63-67.
Аршинский Л. В. Содержательный и формальный выводы в логиках с векторной семантикой // Автоматика и телемеханика, 2007. — № 1. — С. 153—162.
Аршинский Л.В. Векторные логики: основания, концепции, модели. — Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 2007. — 228 с.

[1] Dunn J.M. Algebra of Intensional Logics. Doctoral Dissertation University of Pitts-burg, Ann Arbor, 1966.

[2] Моросанова Н. А. Методы вычисления оценок уверенности формально построенных выводов: автореф. дис. : канд. физ.-мат. наук: 05.13.11 / Н. А. Моросанова. — Москва, 2013. — 14 с. (см. т.ж. http://en.cs.msu.ru/sites/cmc/files/theses/201311-mna.pdf Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine)

[oskl-3] 3,0 ^3,1 Аршинский Л. В. О семантиках классической логики // Logical Studies , 2000. — № 5. — Режим доступа к журн.: http://www.logic.ru/Russian/LogStud/05/LS5.html Архивная копия от 19 января 2007 на Wayback Machine

[_{{#invoke:Hash|main|ВЛОКМ—2007——}}-4] ВЛОКМ, 2007.

[5] Smarandache F. Neutrosophy: Neutrosophic Probability, Set and Logic. — American Research Press, Rehoboth, 1998. — 105 p.

[6] Смарандаке Ф. Сущность нейтрософии /пер. с англ. — Hexis Publishers, Phoenix, Arizona, 2006. — 33 c. (см. т.ж. http://fs.gallup.unm.edu/SushnostiNeytrosofii.pdf)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Логики с векторной семантикой

Содержание

Вектор истинности, аспекты истинности[править]

Сложные суждения[править]

Кванторы[править]

Отношения суждений[править]

Логический вывод[править]

V^TF-логики[править]

Проблемы л. с в.с. и следствия из них[править]

Примечания[править]

Литература[править]

Навигация

Логики с векторной семантикой

Вектор истинности, аспекты истинности[править]

Сложные суждения[править]

Кванторы[править]

Отношения суждений[править]

Логический вывод[править]

VTF-логики[править]

Проблемы л. с в.с. и следствия из них[править]

Примечания[править]

Литература[править]

Навигация

Поиск

V^TF-логики[править]