Неравенства Бонферрони
Неравенство Бонферрони применяется, когда служно или невозможно вычислить вероятность пересечения событий, но существует необходимость оценки ее значения.
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\mathbb P}\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right) \ge 1 - \sum_{i=1}^{n} {\mathbb P}(A_i^\complement).} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^\complement} - обозначение дополнения события Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} .
Неравенство названо по имени итальянского математика Карло Эмилио Бонферрони.
Частным случаем неравенства Бонферрони является неравенство Буля или граница объединения событий. Согласно неравенству Буля для любого конечного или счетного множества событий Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_1 A_2 A_n} , вероятность того что по крайней мере одно из событий произойдет не выше чем сумма вероятностей каждого события множества.
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) \le \sum_{i=1}^{\infty} {\mathbb P}(A_i).}
Таким образом, неравенство Буля определяет оценку сверху вероятности того, что произойдет по крайней мере одно из событий, зная вероятности каждого события в отдельности. Неравенство названо по имени разработчика Джорджа Буля.
Неравенство Бонферрони определяет оценку сверху и оценку снизу вероятности конечного объединения или пересечения событий. Для определения оценки сверху и оценки снизу вероятности объединения событий Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_1, A_2, A_n} задается множество вложенных пересечений этих множеств таким образом, что:
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \quad P_1 := \sum_{i=1}^n {\mathbb P}(A_i), \quad P_2 := \sum_{1\le i_1 < i_2\le n} {\mathbb P}(A_{i_1} \cap A_{i_2} ),\quad \ldots, }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \quad P_k := \sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} {\mathbb P}(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} ), \quad P_n := {\mathbb P}(A_{1}\cap A_{2} \cap A_{3} \cdots \cap A_{n})}
Согласно принципу включений-исключений:
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\mathbb P}(A_{1}\cup A_{2} \cup A_{3} \cdots \cup A_{n}) = P_1 - P_2 + P_3 - P_4 + \cdots \pm P_n}
При этом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_i} упорядочены таким образом, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_i \ge P_j} если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i \le j} . Таким образом, мы получаем последовательность неравенств, все более точно определяющих оценку вероятности сверху и снизу:
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1 \quad \ge \quad {\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \quad \le \quad P_1-P_2}
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_1-P_2+P_3 \quad \ge \quad {\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \quad \le \quad P_1-P_2+P_3-P_4}
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cdots}
Литература[править]
Фролов А. Н. Об оценках для вероятностей комбинаций событий, формуле Жордана и неравенствах Бонферрони // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 2. С. 253–264. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.207
 | Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Неравенства Бонферрони», расположенная по адресу:
Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?». |
|---|