Неравенство треугольника
Неравенство треугольника — соотношение, показывающее, что в треугольнике расстояние от точки A до непосредственно точки C всегда не выше, чем расстояние, которое можно проделать от A до C через «посредника» B.
В зависимости от дисциплины это утверждение может приниматься как за аксиому, так и за теорему.
Евклидова планиметрия[править]
Для невырожденного 3-угольника ABC утверждение записывается как
- AB + BC > AC.
В евклидовой геометрии это утверждение является теоремой. Доказательство которой будет дано ниже.
Доказательство[править]
Одно из классических школьных доказательств использует теорему о том, что напротив большего угла лежит бо́льшая сторона.
- Отложим на продолжении стороны AC отрезок CD = BC.
- Тогда углы 1 и 2 будут равны, а значит, угол ABD будет больше угла 2.
- Следовательно, AB < AD = AC + CD = AC + CB, QED.[1]
Комплексный анализ[править]
В комплексном поле неравенство выражается как
- |a + b| ≤ |a| + |b|.
Данное равенство тоже можно доказать, используя свойства комплексных чисел.
Доказательство[править]
Возведя в квадрат, имеем:
что является верным утверждением, имеющим геометрический смысл: катет |Re(āb)| не больше гипотенузы |āb|.
Применение[править]
Комплексное неравенство треугольника играет важную роль в комплексном анализе для доказательства сходимости или доказательства равенства интегралов или рядов (сумм бесконечной последовательности слагаемых). Как правило, требуется доказать, что модуль некоего выражения стремится к 0. С помощью неравенства треугольников модуль исходного выражения «зажимается» сверху суммой модулей, стремление которой к нулю доказать становится проще.
Пример[править]
Например, требуется доказать, что комплексная натуральная экспонента:
действительно существует. Занесём в выражении
вычитаемое (которое суть частичная сумма этой последовательности) под знак предела:
Так как это вычитаемое, несомненно, конечно, то такое преобразование действительно валидно. Тогда
Можно заметить, что, начиная с некоторого значения o + 1 (а именно — превосходящего |z|), сумма становится ниже, чем ряд геометрической прогрессии:
Вычислив её по формуле ряда геометрической прогрессии, при стремлении o + 1 к бесконечности получаем нуль. Таким образом, исходный ряд на самом деле действительно сходится.