Обратная задача классической теории рассеяния

Обратная задача классической теории рассеяния — задача по восстановлению вида рассеивающего поля по известному поведению рассеивающихся частиц в классической механике.

Основным применением данной задачи в настоящее время является изучение классического предела поведения квантовых систем. Определение вида потенциала рассеивающего поля $U(r)$ может производится по заданной зависимости эффективного сечения от угла рассеяния при заданной энергии $E$. Предполагается, что $U(r)$ — монотонно убывающая функция $r$ (поле отталкивания), причем $U(0)>E$ , $U(\infty )=0$. Другими вариантами являются определение потенциала по зависимости угла рассеяния от энергии при фиксированном угловом моменте либо фиксированном прицельном параметре.

Обратная задача классической теории рассеяния формулируется по аналогии с обратной задачей динамики. Обратная задача динамики — определение действующих на тело неизвестных сил по координатам тела в любой момент времени. Обратная задача классической теории рассеяния — определение потенциала рассеивающего поля по траекториям рассеивающихся частиц.

Решение

Интегрирование $d\sigma$ по углу рассеяния определяет согласно формуле $\int _{\chi }^{\pi }{\frac {d\sigma }{d\chi }}d\chi =\pi \rho ^{2}$ квадрат прицельного расстояния, так что функцию $\rho (\chi )$ (а с ней и $\chi (\rho )$) можно считать заданной. Вводим обозначения: $s={\frac {1}{r}}$, $x={\frac {1}{\rho ^{2}}}$, $\omega ={\sqrt {1-{\frac {U}{E}}}}$. Тогда формулы $\chi =\left|\pi -2\varphi _{0}\right|$, $\varphi _{0}=\int _{r_{min}}^{\infty }{\frac {\left({\frac {M}{r^{2}}}\right)}{\sqrt {2m\left[E-U(r)\right]-{\frac {M^{2}}{r^{2}}}}}}$ запишутся в виде ${\frac {\pi -\chi (x)}{2}}=\int _{0}^{s_{0}}{\frac {ds}{\sqrt {x\omega ^{2}-s^{2}}}}$, где $s_{0}(x)$ — корень уравнения $x\omega ^{2}(s_{0})-s_{0}^{2}=0$. Разделив обе части уравнения ${\frac {\pi -\chi (x)}{2}}=\int _{0}^{s_{0}}{\frac {ds}{\sqrt {x\omega ^{2}-s^{2}}}}$ на ${\sqrt {\alpha -x}}$ и проинтегрировав по $dx$ в пределах от нуля до $\alpha$, найдем $\int _{0}^{\alpha }{\frac {\pi -\chi (x)}{2}}{\frac {dx}{\sqrt {\alpha -x}}}=\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{s_{0}(x)}{\frac {dsdx}{\sqrt {(x\omega ^{2}-s^{2})(\alpha -x)}}}=\pi \int _{0}^{s_{0}(\alpha )}{\frac {ds}{\omega }}$. После интегрирования по частям в левой части равенства $\pi {\sqrt {\alpha }}-\int _{0}^{\alpha }{\sqrt {\alpha -x}}{\frac {d\chi }{dx}}dx=\pi \int _{0}^{s_{0}(\alpha )}{\frac {ds}{\omega }}$. Полученное соотношение дифференцируем по $\alpha$, после чего вместо $s_{0}(\alpha )$ пишем просто $s$, соответственно чему заменяем $\alpha$ на ${\frac {s^{2}}{\omega ^{2}}}$. Написав равенство в дифференциалах, получим: $\pi d\left({\frac {s}{\omega }}\right)-{\frac {1}{2}}d\left({\frac {s^{2}}{\omega ^{2}}}\right)\int _{0}^{\frac {s^{2}}{\omega ^{2}}}{\frac {\chi '(x)dx}{\sqrt {{\frac {s^{2}}{\omega ^{2}}}-x}}}={\frac {\pi }{\omega }}ds$ или $-\pi d\ln \omega =d\left({\frac {s}{\omega }}\right)\int _{0}^{\frac {s^{2}}{\omega ^{2}}}{\frac {\chi '(x)dx}{\sqrt {{\frac {s^{2}}{\omega ^{2}}}-x}}}$. Это уравнение интегрируется непосредственно, причем в правой части следует изменить порядок интегрирования по $dx$ и $d(s/\omega )$. Учитывая, что при $s=0$, то есть при $r\rightarrow \infty$ должно быть $\omega =1$, то есть $U=0$ и возвращаясь к исходным переменным $r$ и $\rho$ получим окончательный результат: $\omega =\exp {{\frac {1}{\pi }}\int _{r\omega }^{\infty }\arctan {\frac {\rho }{r\omega }}{\frac {d\chi }{d\rho }}d\rho }=\exp {-{\frac {1}{\pi }}}\int _{r\omega }^{\infty }{\frac {\chi (\rho )d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-r^{2}\omega ^{2}}}}$. Данной формулой определяется в неявном виде зависимость $\omega (r)$ а тем самым и $U(r)$ при всех $r>r_{min}$ в той области значений, которая фактически проходится рассеиваемой частицей с заданной энергией $E$.

См. также

• Обратная задача
• Классическая механика
• Обратная задача квантовой теории рассеяния

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — ISBN 5-9221-0055-6.