Основные приёмы решения систем уравнений

Существует несколько общих методов преобразования систем уравнений, переводящих исходную систему в ей равносильную. Эти методы проще всего сформулировать на примере систем двух уравнений, однако соответствующие приёмы можно обобщить на системы с большим количеством уравнений.

Метод равносильного перехода

Обоснование метода. Если в системе какое-либо уравнение заменить равносильным ему, а другие оставить без изменений, то полученная система будет равносильна первоначальной.

Метод сложения

Обоснование метода. Если в системе какое-либо уравнение заменить на линейную комбинацию этого уравнения и какого-либо другого уравнения системы (или нескольких уравнений системы), а другие уравнения оставить без изменений, то полученная система будет равносильна первоначальной. На примере системы из двух уравнений это выглядит так: пусть — любые действительные числа, не равные нулю одновременно, тогда Основные аналитические способы решения систем уравнений.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} f_1(x; y)=0; \\ f_2(x; y)=0. \\ \end{cases} } , равносильно:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} a \cdot f_1(x; y) + b \cdot f_2(x; y)=0; \\ f_2(x; y)=0. \\ \end{cases} }

Метод подстановки

Обоснование метода. Если в одном из уравнений системы выразить одну из переменных и полученное выражение подставить в другое уравнение системы, то полученная система будет равносильна первоначальной. На примере системы из двух уравнений это выглядит так:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} x=f_1(y); \\ f_2(x; y)=0. \\ \end{cases} } , равносильно:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} x=f_1(y); \\ f_2(f_1(y); y)=0. \\ \end{cases} }

Метод разложения на множители

Обоснование метода. Если система содержит уравнение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_1(x; y) \cdot f_2(x; y)=0;} , то на своей области определения она равносильна совокупности двух систем, в первой из которых данное уравнение заменено на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_1(x; y)=0;} , а во второй — на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_2(x; y)=0;} . На примере системы из двух уравнений это выглядит так:

система

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} f_1(x; y) \cdot f_2(x; y)=0; \\ f_3(x; y)=0. \\ \end{cases} }

равносильна совокупности двух систем:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} f_1(x; y)=0; \\ f_3(x; y)=0. \\ \end{cases} } , когда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_2(x; y)} определена,

и

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} f_2(x; y)=0; \\ f_3(x; y)=0. \\ \end{cases} } , когда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_1(x; y)} определена.

Метод замены переменной

Обоснование метода. Если в системе функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_1} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_2} являются сложными, то есть имеют вид Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_1(h(x;y); g(x;y))} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_2(h(x;y); g(x;y))} , то, выполнив замену переменных Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u=h(x;y)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=g(x;y)} , получим систему, равносильную исходной. После решения новой системы относительно переменных Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v} необходимо вернуться к исходным переменным и определить их значения.

Графический метод

Обоснование метода. Чтобы решить систему уравнений графическим методом, необходимо:

1) посредством равносильных преобразований системы упростить входящие в неё уравнения так, чтобы удобно было строить множества точек, задаваемые уравнениями системы;

2) в одной системе координат построить множества точек, задаваемые уравнениями системы;

3) найти координаты точек пересечения построенных линий.

Координаты Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} найденных точек пресечения будут являться решениями Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x; y)} системы.

Найденные таким способом значения будут приближёнными. Необходимо подставить этот набор значений в исходную систему, проверив, получается ли при этом набор верных равенств.

Пример

Необходимо решить систему уравнений:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} x+2y=8; \\ x^2+5x=0. \\ \end{cases} }

Преобразуем систему, разложив второе уравнение на множители:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} 2y=8-x; \\ x(x+5)=0. \\ \end{cases} }

Второе уравнение обращается в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} при двух разных значениях переменной Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} . Перейдём к совокупности двух разных систем:

1. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} y=\frac {8-x} 2; \\ x_1=0. \\ \end{cases} }

2. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} y=\frac {8-x} 2; \\ x_2=-5. \\ \end{cases} }

Ответ: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (0;4),(-5; 6,5)}

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Основные приёмы решения систем уравнений», расположенная по адресу: — https://ru.ruwiki.ru/wiki/Основные_приёмы_решения_систем_уравнений Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».