Показательные неравенства

Показательные неравенства — неравенства, в которых переменная входит только в показатели степеней, при постоянном основании.

Неравенства вида $a^{f(x)}\geq b,a^{f(x)}\geq a^{g(x)}$ называются простейшими показательными неравенствами.

Решения неравенства

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенства вида $a^{f(x)}>a^{c}$ или $a^{f(x)}<a^{c}$, где $f(x)$ — выражение, содержащее неизвестное, $a>0,a\neq 1,c\in R$.

Так как множество значений показательной функции $f(x)=a^{x}$— множество положительных чисел, то при $b\leq 0$ неравенства: $a^{x}<b$ решений не имеют, независимо от значения основания а. В то же время множеством решения неравенств $a^{x}>b$ и $a^{x}\geqslant b$ является всё множество действительных чисел, независимо от значения основания $a$.

Знак неравенства

Приведя неравенство к виду $a^{f(x)}>a^{c}$ или $a^{f(x)}<a^{c}$, можно сравнить показатели степеней с помощью свойства монотонности функции.

Возможно два варианта поведения функции неравенства:

• Если $a>1$, то показательная функция возрастает. Значит, $f(x)>c$, то есть знак неравенства не изменится.
• Если $0<a<1$, то показательная функция убывает. Значит, $f(x)<c$, то есть знак неравенства изменится на противоположный.

Литература

• Тагиева С. Д. Повышение алгоритмической культуры учащихся при изучении показательных неравенств // Colloquium-journal. 2019.
• Бенгина Т. А. О методе рационализации при решении показательных неравенств // Символ науки. 2018.
• Афоничева Ю.А. Некоторые аспекты изучения показательных уравнений и неравенств в средней школе // Вестник магистратуры. 2019.

Ссылки

• Показательные неравенства

Одним из источников этой статьи является статья в википроекте «Рувики» («Багопедия», «ruwiki.ru») под названием «Показательные неравенства», находящаяся по адресу: «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Показательные_неравенства» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?»