Преобразование Френеля

Дифракция Френеля на круговой апертуре

Преобразование Френеля (англ. Fresnel transform) — интегральное преобразование, пришедшее в математику из волновой оптики, и имеющее природу, родственную по своим свойствам классическому преобразованию Фурье. Преобразование Френеля нашло широкое применение в голографии, спектроскопии высокой светосилы и анализе антенных систем с синтезированной апертурой.

Определение

Если преобразование Фурье описывает дифракцию плоской однородной волны в дальней зоне (в зоне Фраунгофера), то преобразование Френеля работает в ближней зоне (в зоне Френеля).

Интегральное представление преобразования Френеля от функции $f(x)$ имеет следующий вид:

$F(\omega )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{\frac {ix^{2}}{2\sigma ^{2}}}e^{-ix\omega }\,dx.$

При этом, соответствующее обратное преобразование формулируется следующим образом:

$f(x)={\frac {\sigma e^{\frac {-ix^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{ix\omega }\,dx.$

Иными словами, преобразование Френеля связано с преобразованием Фурье от свёртки целевой функции с гауссоидой.

Для эффективного вычисления преобразования Френеля используются различные численные вариации классических быстрых преобразований Фурье.

Источники

• Смирное, С. А. Преобразования оптических сигналов : Учебное пособие. — СПбГУ ИТМО. — СПб. : «».
• Kelly, Damien P. Numerical calculation of the Fresnel transform : [англ.] // Journal of the Optical Society of America A. — 2014. — Vol. 31, no. 4. — P. 755–764.
• Papoulis, Athanasios Systems and Transforms with Applications in Optics : [англ.]. — McGraw-Hill Book Company, 1968.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Преобразование Френеля», расположенная по адресу: — «https://руни.рф/index.php/Преобразование_Френеля» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».