Принцип суперпозиции магнитных полей

Принцип суперпозиции магнитных полей — свойство электромагнитного поля, состоящее в том, что при заданных источниках результирующая магнитная индукция в каждой точке пространства равна векторной сумме индукций полей, создаваемых отдельными источниками:

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{i}\mathbf {B} _{i}(\mathbf {r} ,t).$$

В магнитостатике источниками могут служить отдельные проводники с постоянным током, витки, катушки или части непрерывного распределения плотности тока. В общем случае классической электродинамики принцип относится к решениям уравнений Максвелла при сложении соответствующих распределений электрического заряда и тока.

Принцип суперпозиции непосредственно используется вместе с законом Био — Савара — Лапласа: поле протяжённого проводника или распределённого тока получают непрерывным суммированием полей его элементов. В вакууме это свойство является следствием линейности уравнений Максвелла. Оно сохраняется также в линейных материальных средах, включая линейные анизотропные среды, если их материальные соотношения не зависят от амплитуды поля. В нелинейных магнитных средах, прежде всего в ферромагнетиках при насыщении и гистерезисе, простое сложение решений, полученных для каждого источника по отдельности, в общем случае неприменимо.

Физическое содержание

Для нескольких заданных источников магнитного поля принцип суперпозиции означает, что результирующее поле определяется геометрической суммой отдельных вкладов. Если источники создают в некоторой точке поля с индукциями $\mathbf {B} _{1},\mathbf {B} _{2},\ldots ,\mathbf {B} _{n}$, то

$$\mathbf {B} =\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2}+\ldots +\mathbf {B} _{n}.$$

В декартовой системе координат это равенство эквивалентно независимому сложению компонент:

$$B_{x}=\sum _{i}B_{ix},\qquad B_{y}=\sum _{i}B_{iy},\qquad B_{z}=\sum _{i}B_{iz}.$$

Поэтому взаимное усиление или ослабление магнитного поля определяется не только модулями отдельных вкладов, но и их направлениями. В области, где два вектора магнитной индукции сонаправлены, модуль результирующего поля увеличивается; при противоположных направлениях возможно частичное или полное взаимное компенсирование.

Формулировка принципа требует оговорки о заданных источниках. Если движение зарядов, токи или намагниченность вещества сами изменяются под действием суммарного поля, задача становится самосогласованной. В этом случае сначала необходимо определить действительные распределения зарядов и токов, после чего поле полного источника описывается уравнениями электродинамики. Поэтому выражение «поле каждого источника такое же, как в отсутствие остальных» строго применимо тогда, когда состояние источников считается неизменным.

Следует различать суперпозицию самих полей и сложение величин, нелинейно зависящих от поля. Например, в линейной изотропной среде плотность энергии магнитного поля пропорциональна квадрату индукции. Для двух полей

$$(\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2})^{2}=B_{1}^{2}+B_{2}^{2}+2\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {B} _{2},$$

поэтому энергия содержит перекрёстный член, связанный со взаимодействием источников. Аналогично некоторые силы, моменты и энергетические характеристики системы не являются простой суммой значений, рассчитанных для каждого поля по отдельности.

Связь с уравнениями Максвелла

В вакууме электромагнитное поле описывается системой уравнений Максвелла

$$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},\qquad \nabla \cdot \mathbf {B} =0,$$

$$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\qquad \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$$

Дифференциальные операции, входящие в эти уравнения, являются линейными. Если пары полей Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\mathbf E_i,\mathbf B_i)} являются решениями для источников $(\rho _{i},\mathbf {J} _{i})$, то

$$\mathbf {E} =\sum _{i}\mathbf {E} _{i},\qquad \mathbf {B} =\sum _{i}\mathbf {B} _{i}$$

являются решением для суммарных источников

$$\rho =\sum _{i}\rho _{i},\qquad \mathbf {J} =\sum _{i}\mathbf {J} _{i}.$$

Таким образом, суперпозиция магнитной индукции представляет собой частный случай более общего принципа суперпозиции электромагнитных полей.

В стационарном случае, когда заряды и токи не зависят от времени, магнитная часть системы Максвелла принимает вид

$$\nabla \cdot \mathbf {B} =0,\qquad \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} .$$

Если $\mathbf {J} =\mathbf {J} _{1}+\mathbf {J} _{2}$, то сумма двух решений $\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2}$ удовлетворяет тем же уравнениям для полного тока. Это даёт математическое обоснование принципа суперпозиции в магнитостатике.

Принцип не ограничивается постоянными токами. В вакууме полные уравнения Максвелла линейны и для полей, изменяющихся во времени, поэтому поля нескольких заданных переменных источников складываются в каждой точке пространства в каждый момент времени.

Линейность не нарушается и при переходе между инерциальными системами отсчёта. В специальной теории относительности электрическое и магнитное поля рассматриваются как компоненты единого тензора электромагнитного поля и преобразуются друг в друга при преобразованиях Лоренца. Эти преобразования линейны, поэтому релятивистское движение источников само по себе не является нарушением принципа суперпозиции классических полей.

Магнитостатика и закон Био — Савара — Лапласа

В магнитостатике принцип особенно наглядно проявляется в законе Био — Савара — Лапласа. Для тонкого проводника с постоянным током $I$ элемент $d\mathbf {l} '$ создаёт вклад

$$d\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {d\mathbf {l} '\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}.$$

Поле всего проводника получают интегрированием:

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d\mathbf {l} '\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}.$$

Интеграл представляет собой непрерывный предел векторного суммирования вкладов отдельных элементов тока.

Для объёмного распределения стационарного тока с плотностью $\mathbf {J} (\mathbf {r} ')$ соответствующее выражение имеет вид

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\,d^{3}r'.$$

Формула линейна по $\mathbf {J}$: если плотность тока представлена суммой нескольких распределений, интеграл распадается на сумму полей каждого из них. Поэтому сложную систему токов можно разбивать на более простые части и отдельно рассчитывать их вклады.

Векторный потенциал

Поскольку

$$\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$$

магнитное поле может быть локально представлено через векторный потенциал

$$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$$

Для стационарных токов в вакууме в калибровке Кулона

$$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}r'.$$

Это выражение также линейно по источнику. При одинаковом выборе калибровки потенциалы отдельных распределений тока могут складываться:

$$\mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {A} _{i},\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \sum _{i}\mathbf {A} _{i}=\sum _{i}\mathbf {B} _{i}.$$

Векторный потенциал используется при расчётах распределённых токов, мультипольных разложениях и решении краевых задач магнитостатики.

Теорема Гаусса для магнитного поля

Для классического магнитного поля выполняется теорема Гаусса

$$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,$$

или в дифференциальной форме

$$\nabla \cdot \mathbf {B} =0.$$

Поскольку дивергенция является линейным оператором, сумма нескольких магнитных полей также удовлетворяет этому уравнению. Теорема Гаусса поэтому полностью совместима с принципом суперпозиции.

Графические линии магнитной индукции не следует «складывать» как геометрические линии. Сначала в каждой точке складываются векторы $\mathbf {B} _{i}$, после чего по результирующему векторному полю строится новая система интегральных линий. Поэтому наложение даже двух сравнительно простых полей может образовывать существенно иную конфигурацию линий и точки, в которых $\mathbf {B} =0$.

Примеры применения

Два прямолинейных проводника

Для бесконечно длинного прямого проводника в вакууме

$$B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}},$$

где $r$ — расстояние до оси проводника. Направление вектора определяется правилом правой руки.

Для двух параллельных проводников результирующее поле равно

$$\mathbf {B} =\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2}.$$

Если токи направлены одинаково, то в области между проводниками векторы $\mathbf {B} _{1}$ и $\mathbf {B} _{2}$ направлены противоположно, а во внешних областях — одинаково. При противоположных направлениях токов картина меняется на обратную. Точка компенсации поля определяется условием равенства модулей противоположно направленных вкладов.

Сложение магнитных полей при этом следует отличать от силы взаимодействия самих проводников. Каждый проводник испытывает силу Ампера в поле другого; параллельные токи одинакового направления притягиваются, а противоположного — отталкиваются.

Кольцо, катушка и соленоид

Поле витка с током получают суммированием вкладов всех его элементов. Для круглого витка радиуса $R$ на его оси на расстоянии $z$ от центра

$$B_{z}(z)={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}.$$

Для катушки из нескольких одинаково ориентированных витков поле является суммой полей отдельных витков. В приближении длинного соленоида с $N$ витками, длиной $l$ и током $I$

$$B\simeq \mu _{0}{\frac {N}{l}}I$$

в вакууме вдали от его концов.

Суперпозиция участвует и в возникновении квадратичной зависимости индуктивности идеализированного длинного соленоида от числа витков. Поле внутри него пропорционально $N$, а полное потокосцепление равно сумме магнитных потоков через $N$ витков:

$$L\simeq \mu _{0}{\frac {N^{2}S}{l}},$$

где $S$ — площадь поперечного сечения. Второй множитель $N$ связан с числом сцепленных витков, а не с увеличением геометрической площади катушки.

Катушки Гельмгольца

Практическим примером целенаправленного сложения магнитных полей служат Катушки Гельмгольца. Две одинаковые соосные круглые катушки с одинаковыми токами располагают так, чтобы их поля складывались в центральной области. При классическом расстоянии между центрами, равном радиусу катушек, в окрестности средней точки обеспечивается повышенная пространственная однородность результирующего поля.

В российских работах закон Био — Савара — Лапласа и суперпозиция используются для сравнения полей круглых, квадратных и многоугольных систем катушек, а также для расчёта комбинированных систем «катушки Гельмгольца — соленоид».

Системы из большего числа катушек применяют для расширения области заданной однородности, формирования контролируемых градиентов и компенсации фонового магнитного поля. При их проектировании вклад каждой катушки может быть вычислен отдельно, после чего токи и геометрические параметры выбираются так, чтобы необходимые компоненты суммарного поля усиливались, а нежелательные — компенсировались.

Суперпозиция в материальных средах

В макроскопической электродинамике наряду с $\mathbf {B}$ вводятся напряжённость магнитного поля $\mathbf {H}$ и намагниченность $\mathbf {M}$:

$$\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} ).$$

В линейной изотропной среде

$$\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,\qquad \mathbf {B} =\mu _{0}(1+\chi _{m})\mathbf {H} =\mu \mathbf {H} .$$

Если магнитная восприимчивость $\chi _{m}$ и магнитная проницаемость $\mu$ не зависят от величины поля, материальное уравнение остаётся линейным. Поэтому решения, полученные для разных внешних источников, могут складываться.

К этому случаю в соответствующих диапазонах полей относятся многие диамагнитные и парамагнитные вещества. При этом наличие вещества само по себе не является причиной нарушения суперпозиции: принцип определяется линейностью уравнений и материальных соотношений.

Анизотропные среды

Анизотропия также сама по себе не уничтожает принцип суперпозиции. В линейной анизотропной среде связь между индукцией и напряжённостью имеет тензорный вид

$$B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.$$

Если компоненты тензора $\mu _{ij}$ заданы и не зависят от $\mathbf {H}$, это по-прежнему линейное преобразование. Поэтому линейные анизотропные магнетики допускают суперпозицию так же, как изотропные, хотя направление $\mathbf {B}$ в общем случае может не совпадать с направлением $\mathbf {H}$.

Постоянные магниты

В макроскопической теории поле намагниченного тела можно описывать через заданное распределение $\mathbf {M}$ и эквивалентные связанные токи. Если распределение намагниченности считается неизменным, поля нескольких постоянных магнитов, а также магнитов и проводников с током могут складываться по принципу суперпозиции.

Это приближение широко используется при расчёте магнитных сборок и корректирующих катушек. Его точность определяется тем, насколько намагниченность каждого элемента остаётся неизменной под действием поля других элементов. Для магнитотвёрдых материалов такое приближение может быть достаточно точным в рабочем диапазоне полей; для магнитомягких материалов необходимо учитывать перераспределение намагниченности.

Нелинейные среды и границы применимости

В ферромагнитных материалах зависимость намагниченности от внешнего поля обычно нелинейна. Магнитная проницаемость зависит от напряжённости поля, при достаточно сильном воздействии возникает магнитное насыщение, а при циклическом перемагничивании наблюдается гистерезис.

Если для нелинейной среды символически записать

$$\mathbf {M} =\mathbf {M} (\mathbf {H} ),$$

то в общем случае

$$\mathbf {M} (\mathbf {H} _{1}+\mathbf {H} _{2})\neq \mathbf {M} (\mathbf {H} _{1})+\mathbf {M} (\mathbf {H} _{2}).$$

Следовательно, отклик материала на сумму двух внешних воздействий нельзя определить простым сложением решений, найденных при каждом воздействии отдельно. При гистерезисе намагниченность дополнительно зависит от предыстории изменения поля.

При этом нелинейность магнитного материала не означает, что фундаментальные микроскопические уравнения классической электродинамики перестают быть линейными по $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$. Нелинейность возникает в макроскопической задаче через материальные соотношения и самосогласованный отклик вещества. Поэтому границу применимости принципа корректнее связывать с нелинейностью модели среды, а не с принадлежностью вещества к определённому классу как таковой.

В частности, релятивистские скорости сами по себе не являются нарушением принципа суперпозиции. Они требуют совместного рассмотрения электрического и магнитного полей, но уравнения классической электродинамики в вакууме остаются линейными.

Электромагнитные волны

Поскольку полные уравнения Максвелла линейны в вакууме и в линейной среде, принцип суперпозиции распространяется также на электромагнитные волны. Если несколько волн проходят через одну область пространства, результирующие векторы $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$ равны суммам соответствующих векторов отдельных волн.

В то же время интенсивность и плотность энергии зависят квадратично от амплитуды поля, поэтому интенсивности накладывающихся волн в общем случае непосредственно не складываются. Появление перекрёстных членов при возведении суммы полей в квадрат лежит в основе интерференционных явлений.

В нелинейных электромагнитных средах параметры материала могут зависеть от амплитуды поля. Тогда различные волны взаимодействуют посредством вещества и линейная суперпозиция отдельных решений перестаёт быть точной.

Взаимная индукция

Принцип суперпозиции используется при описании системы нескольких электрических контуров. В линейной среде потокосцепление $i$-го контура можно представить как сумму вкладов токов всех контуров:

$$\Psi _{i}=\sum _{j}L_{ij}I_{j},$$

где диагональные коэффициенты $L_{ii}$ соответствуют собственной индуктивности, а недиагональные $L_{ij}$ — коэффициентам взаимной индукции.

Для неподвижных контуров в линейной взаимной среде выполняется соотношение взаимности

$$L_{ij}=L_{ji}.$$

Оно связано с симметрией магнитной энергии системы и используется при анализе трансформаторов, связанных катушек и многоконтурных систем.

В присутствии нелинейного ферромагнитного сердечника постоянные коэффициенты $L_{ij}$ уже не всегда описывают систему во всём диапазоне токов: потокосцепление может становиться нелинейной функцией тока и зависеть от магнитной предыстории материала.

Численные методы

В вычислительной электродинамике суперпозиция может применяться для ускорения расчётов линейных систем. Например, заранее найденные решения для нескольких независимых катушек можно масштабировать и складывать для различных комбинаций токов. Такой подход используется при оптимизации многокатушечных систем и формировании заданного распределения магнитного поля.

При этом принцип суперпозиции не следует отождествлять с методом конечных элементов. В МКЭ расчётная область разбивается на конечные элементы, однако неизвестные поля не вычисляются независимо в каждом элементе с последующим простым сложением. Элементные уравнения объединяются в глобальную систему, учитывающую связи между элементами и граничные условия. Для линейной глобальной задачи возможна суперпозиция отдельных решений, тогда как при нелинейных свойствах материалов обычно требуется итерационное решение полной системы.

Экспериментальная иллюстрация

Простейшая экспериментальная проверка принципа заключается в последовательном измерении поля каждого источника и поля при их совместной работе. В выбранной точке измеряются компоненты $\mathbf {B} _{1}$, $\mathbf {B} _{2}$ и затем $\mathbf {B}$; полученное совместное поле сравнивается с векторной суммой отдельных измерений.

Для таких измерений применяют, в частности, датчики Холла, индукционные катушки и различные типы магнитометров. При использовании воздушных катушек, токи которых стабилизируются независимо, результаты описываются линейной моделью. Отклонения могут быть обусловлены погрешностью измерения, внешними магнитными полями, геометрическими неточностями и присутствием материалов с нелинейными магнитными свойствами.

В метрологических установках принцип используется и для компенсации поля: токи нескольких катушек подбираются таким образом, чтобы компенсировать известные составляющие фонового поля либо создать поле заданной величины и направления.

Историческое развитие

Связь электрического тока с магнитным действием была экспериментально установлена Хансом Кристианом Эрстедом в 1820 году. Вскоре Жан-Батист Био и Феликс Савар исследовали зависимость магнитного действия тока от геометрии проводника, а Пьер-Симон Лаплас участвовал в математической формулировке закона, позволяющего определять вклад отдельных элементов тока. В тот же период Андре-Мари Ампер разработал количественную теорию взаимодействия электрических токов.

Закон Био — Савара — Лапласа вместе с суммированием элементарных вкладов стал одним из основных способов вычисления стационарных магнитных полей. В XIX веке результаты электростатики, магнитостатики и электромагнитной индукции были объединены в теории Джеймса Клерка Максвелла. В уравнениях Максвелла суперпозиция получила общее математическое основание как следствие линейности классических уравнений электромагнитного поля.

Современная формулировка принципа поэтому охватывает дискретное сложение полей нескольких проводников или катушек, интегрирование непрерывных распределений токов и наложение переменных электромагнитных полей.

Практическое значение

Принцип суперпозиции применяется при расчёте магнитных систем, содержащих несколько катушек, проводников и постоянных магнитов. В линейном приближении он позволяет независимо вычислить вклад каждого элемента, после чего определить суммарное поле либо подобрать токи таким образом, чтобы получить необходимое пространственное распределение.

Такой подход используется при создании электромагнитов, систем компенсации внешнего магнитного поля, калибровочных установок для магнитометров, лабораторных катушечных систем, магнитных экранов и устройств, в которых необходимо создавать однородное поле либо контролируемый градиент магнитной индукции.

Для реальных устройств точность линейной модели определяется геометрическими допусками, конечными размерами проводников, изменением токов, внешними полями и магнитными свойствами окружающих материалов. В катушках с воздушным сердечником суперпозиция обычно применяется непосредственно; использование ферромагнитных сердечников может потребовать учёта насыщения, гистерезиса и пространственно неоднородной магнитной проницаемости.

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ: Принцип суперпозиции магнитных полей

Суть: Результирующий вектор магнитной индукции $\mathbf {B}$ в любой точке равен векторной сумме индукций полей, создаваемых каждым источником по отдельности:

$$\mathbf {B} =\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2}+\ldots +\mathbf {B} _{n}.$$

Формула для ЕГЭ/ОГЭ: $\mathbf {B} _{\text{рез}}=\sum _{i}\mathbf {B} _{i}$

Что нужно уметь:

• Определять направление вектора $\mathbf {B} _{i}$ от каждого проводника с током по правилу буравчика (правой руки).
• Выполнять векторное сложение полей (геометрически, по правилу параллелограмма или покомпонентно).
• Находить точку, где результирующее поле равно нулю (если векторы противоположны и равны по модулю).

Где встречается:

• ЕГЭ: задание 13 (базовый уровень, качественная задача). Типичный пример: два параллельных проводника с токами $I_{1}$ и $I_{2}$ — определить направление результирующего вектора в точке между ними[reference:3].
• ОГЭ: задание 13 (электромагнитные явления). Задача качественная, требует анализа направления линий магнитного поля.

Важно: Принцип работает для линейных сред (вакуум, воздух, пара- и диамагнетики). В ферромагнетиках при насыщении и гистерезисе простое сложение неприменимо.

Литература

• Тамм И. Е. Основы теории электричества. — 11-е изд., испр. и доп.. — М.: Физматлит, 2003. — 615 с. — ISBN 5-9221-0313-X.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Физматлит, 2009. — Т. Т. 3. Электричество. — 654 с. — ISBN 978-5-9221-0673-3.
• Калашников С. Г. Электричество. — 6-е изд., стер.. — М.: Физматлит, 2008. — 624 с. — ISBN 978-5-9221-0900-0.
• Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с.
• Иродов И. Е. Основные законы электромагнетизма. — 2-е изд., стер.. — М.: Высшая школа, 1991. — 287 с. — ISBN 5-06-002062-2.
• Савельев И. В. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. — М.: КноРус, 2012. — 570 с. — ISBN 978-5-406-02589-5.
• Бредов М. М., Румянцев В. В., Топтыгин И. Н. Классическая электродинамика / Под ред. И. Н. Топтыгина. — СПб.: Лань, 2003. — 398 с. — ISBN 5-8114-0511-1.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — 8-е изд., стер.. — М.: Физматлит, 2006. — Т. Т. 2. — 533 с. — (Теоретическая физика). — ISBN 5-9221-0056-4.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — 4-е изд., стер.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. Т. 8. — 651 с. — (Теоретическая физика). — ISBN 5-9221-0123-4.
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. — 3-е изд.. — М.: УРСС, 2004. — Т. Вып. 5. Электричество и магнетизм. — 299 с. — ISBN 5-354-00703-8.
• Мякишев Г. Я., Синяков А. З. Физика. Электродинамика. 10—11 классы. — 14-е изд., стер.. — М.: Просвещение, 2026. — С. 342—352. — 476 с. — ISBN 978-5-09-139131-2.

Научные статьи

• Jiles D. C., Atherton D. L. Theory of ferromagnetic hysteresis // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1986. — том 61. — № 1—2. — С. 48—60. — DOI:10.1016/0304-8853(86)90066-1
• Lin S. T., Kaufmann A. R. Helmholtz Coils for Production of Powerful and Uniform Fields and Gradients // Reviews of Modern Physics. — 1953. — том 25. — № 1. — С. 182—190. — DOI:10.1103/RevModPhys.25.182
• Kirschvink J. L. Uniform magnetic fields and double-wrapped coil systems: Improved techniques for the design of bioelectromagnetic experiments // Bioelectromagnetics. — 1992. — том 13. — № 5. — С. 401—411. — DOI:10.1002/bem.2250130507
• Baranova V. E., Baranov P. F., Muravyov S. V., Uchaikin S. V. The Production of a Uniform Magnetic Field Using a System of Axial Coils for Calibrating Magnetometers // Measurement Techniques. — 2015. — том 58. — № 5. — С. 550—555. — DOI:10.1007/s11018-015-0752-9
• Фишбейн Л. А. Однородность магнитного поля систем правильных многоугольников с током // Международный журнал гуманитарных и естественных наук. — 2023. — № 9—1. — С. 294—298. — DOI:10.24412/2500-1000-2023-9-1-294-298
• Гормаков А. Н., Ульянов И. А. Расчет и моделирование магнитных полей, создаваемых системой «кольца Гельмгольца — соленоид» // Фундаментальные исследования. — 2015. — № 3. — С. 40—45.

Данный материал был размещен в энциклопедии РуВики и помечен там как несвободный вопреки условиям использования РуВики, согласно которым «Вне сайта РУВИКИ всё текстовое содержимое может быть использовано с соблюдением условий свободной открытой лицензии „Публичная лицензия Creative Commons С указанием авторства-С сохранением условий версии 4.0 Международная“». Поэтому любое использование данного материала (как в РУВИКИ, так и вне её) потенциально может стать нарушением авторского права (но в Циклопедии он использован согласно условиям использования текстовых материалов РуВики, подразумевающим повторное использование по свободной лицензии CC-BY-SA 4.0).

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Принцип суперпозиции магнитных полей», расположенная по адресу: — https://ru.ruwiki.ru/wiki/Принцип_суперпозиции_магнитных_полей Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».