Сумма знакопеременных обратных квадратов натуральных чисел

Сумма знакопеременных обратных квадратов натуральных чисел — это бесконечная сумма знакопеременных обратных квадратов натуральных чисел.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} – натуральное число;

${\frac {(-1)^{i-1}}{i^{2}}}$ – i-ое знакопеременное слагаемое;

${\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots +{\frac {(-1)^{i-1}}{i^{2}}}+\ldots$ – бесконечная сумма ряда.

Формула

${\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots +{\frac {(-1)^{i-1}}{i^{2}}}+\ldots ={\frac {{\text{π}}^{2}}{12}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i-1}}{i^{2}}}={\frac {{\text{π}}^{2}}{12}}$ .

Другие формулы:

1. сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
2. сумма обратных квадратов натуральных чисел;
3. сумма обратных квадратов нечётных натуральных чисел;
4. сумма обратных четвёртых степеней натуральных чисел;
5. сумма обратных шестых степеней натуральных чисел;
6. сумма обратных восьмых степеней натуральных чисел;
7. сумма знакопеременных обратных натуральных чисел;
8. сумма знакопеременных обратных нечётных натуральных чисел;
9. сумма знакопеременных обратных квадратов натуральных чисел;
10. сумма знакопеременных обратных кубов нечётных натуральных чисел;
11. сумма обратных произведений текущего и последующего натуральных чисел;
12. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений текущего и второго последующего натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений текущего и двух последующих натуральных чисел;
15. сумма обратных произведений текущего и n последующих натуральных чисел;
16. сумма обратных факториалов натуральных чисел;
17. сумма обратных факториалов чётных натуральных чисел;
18. сумма обратных факториалов нечётных натуральных чисел;
19. сумма знакопеременных обратных факториалов натуральных чисел;
20. сумма знакопеременных обратных факториалов чётных натуральных чисел;
21. сумма знакопеременных обратных факториалов нечётных натуральных чисел.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Изд. 6 Лань, 2003, стр.135.