Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии — это сумма геометрической прогрессии со знаменателем меньше единицы.

Обозначения

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} — число слагаемых;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_1} — первый член геометрической прогрессии;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q} — знаменатель геометрической прогрессии, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0<q<1} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_i} — i-ый член геометрической прогрессии, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_i=b_{i-1}q=b_1q^{i-1},i>1} ;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S} — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=b_1+b_2+\ldots+b_i+\ldots=\sum\limits_{i=1}^{\infty}b_i } .

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\frac{b_1}{1-q}\Leftrightarrow b_1+b_1q^1+\ldots+b_1q^{i-1}+\ldots=\frac{b_1}{1 - q}\Leftrightarrow\sum\limits_{i=1}^{\infty}b_1q^{i-1}=\frac{b_1}{1-q}\Leftrightarrow S=\frac{b_1}{q-1}} .

Другие формулы:

1. сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
2. сумма обратных квадратов натуральных чисел;
3. сумма обратных квадратов нечётных натуральных чисел;
4. сумма обратных четвёртых степеней натуральных чисел;
5. сумма обратных шестых степеней натуральных чисел;
6. сумма обратных восьмых степеней натуральных чисел;
7. сумма знакопеременных обратных натуральных чисел;
8. сумма знакопеременных обратных нечётных натуральных чисел;
9. сумма знакопеременных обратных квадратов натуральных чисел;
10. сумма знакопеременных обратных кубов нечётных натуральных чисел;
11. сумма обратных произведений текущего и последующего натуральных чисел;
12. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений текущего и второго последующего натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений текущего и двух последующих натуральных чисел;
15. сумма обратных произведений текущего и n последующих натуральных чисел;
16. сумма обратных факториалов натуральных чисел;
17. сумма обратных факториалов чётных натуральных чисел;
18. сумма обратных факториалов нечётных натуральных чисел;
19. сумма знакопеременных обратных факториалов натуральных чисел;
20. сумма знакопеременных обратных факториалов чётных натуральных чисел;
21. сумма знакопеременных обратных факториалов нечётных натуральных чисел.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Изд. 6 Лань, 2003, стр.135.