Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии — это сумма геометрической прогрессии со знаменателем меньше единицы.

Обозначения

$n$ — число слагаемых;

$b_{1}$ — первый член геометрической прогрессии;

$q$ — знаменатель геометрической прогрессии, $0<q<1$;

$b_{i}$ — i-ый член геометрической прогрессии, $b_{i}=b_{i-1}q=b_{1}q^{i-1},i>1$;

$S$ — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, $S=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{i}+\ldots =\sum \limits _{i=1}^{\infty }b_{i}$.

Формула

$S={\frac {b_{1}}{1-q}}\Leftrightarrow b_{1}+b_{1}q^{1}+\ldots +b_{1}q^{i-1}+\ldots ={\frac {b_{1}}{1-q}}\Leftrightarrow \sum \limits _{i=1}^{\infty }b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}}{1-q}}\Leftrightarrow S={\frac {b_{1}}{q-1}}$.

Другие формулы:

1. сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
2. сумма обратных квадратов натуральных чисел;
3. сумма обратных квадратов нечётных натуральных чисел;
4. сумма обратных четвёртых степеней натуральных чисел;
5. сумма обратных шестых степеней натуральных чисел;
6. сумма обратных восьмых степеней натуральных чисел;
7. сумма знакопеременных обратных натуральных чисел;
8. сумма знакопеременных обратных нечётных натуральных чисел;
9. сумма знакопеременных обратных квадратов натуральных чисел;
10. сумма знакопеременных обратных кубов нечётных натуральных чисел;
11. сумма обратных произведений текущего и последующего натуральных чисел;
12. сумма обратных произведений текущего и последующего нечётных натуральных чисел;
13. сумма обратных произведений текущего и второго последующего натуральных чисел;
14. сумма обратных произведений текущего и двух последующих натуральных чисел;
15. сумма обратных произведений текущего и n последующих натуральных чисел;
16. сумма обратных факториалов натуральных чисел;
17. сумма обратных факториалов чётных натуральных чисел;
18. сумма обратных факториалов нечётных натуральных чисел;
19. сумма знакопеременных обратных факториалов натуральных чисел;
20. сумма знакопеременных обратных факториалов чётных натуральных чисел;
21. сумма знакопеременных обратных факториалов нечётных натуральных чисел.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Изд. 6 Лань, 2003, стр.135.