Сферическое электрическое поле

(статья находится в процессе доработки)

Сферическое электрическое поле — математические уравнения, описывающие характеристики электрического поля точечного электрического заряда, а также заряженных сферы и шара.

Общая информация

Электрические заряды действуют друг на друга.

Одной из моделей, описывающих такое поведение является модель электрического поля, окружающего заряды. Удобно считать, что именно это поле оказывает силовое воздействие на другие заряды (притягивая их к заряду-источнику или отталкивая от него).

Итоговые уравнения

Напряжённость электрического поля точечного заряда, а также за пределами заряженных сферы либо шара описывается формулой $E={\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0}4\pi }}\times {\frac {Q}{r^{2}}}$, где:

$\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды, не являющейся идеальным диэлектриком

$\varepsilon _{0}$ — электрическая постоянная

$Q$ — заряд заряженной сферы либо шара

$r$ — радиус, отсчитанный от центра сферы либо шара

Электрическое поле заряженной сферы

Закон Гаусса в интегральной форме выглядит как:

$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =\int \limits _{v}\rho \ dv$, где

$\mathbf {D}$ — электрическая индукция, определяемая формулой $\mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E}$, где

$\varepsilon$ — напряженность электрического поля

$\varepsilon _{0}$ — электрическая постоянная

$\mathbf {E}$ — напряженность электрического поля

$\rho$ — объемная плотность заряда

и, с учётом пояснённого, может быть записан как $\oint \limits _{\mathbf {s} }\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} =\int \limits _{v}\rho \ dv$

Интеграл справа берется по объему, который ограничивает поверхность $s$. В качестве поверхности $s$ рассмотрим сферу радиусом $r$ с центром, совпадающим с центром заряженной сферы. Ее площадь: $S(r)=4\pi r^{2}$

$ES={\frac {Q}{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$

$Q$ — заряд внутри области, ограниченной сферой радиуса $r$

$Q_{sphere}$ — заряд заряженной сферы радиусом $R$

$R$ — радиус заряженной сферы

$E={\frac {Q}{\varepsilon \varepsilon _{0}4\pi r^{2}}}$

Если $r<R\Rightarrow$ область, ограниченная сферой радиуса $r$, лежит внутри заряженной сферы, а потому не содержит зарядов $\Rightarrow Q=0\Rightarrow E=0$

Eсли $r\geqq R\Rightarrow$ заряженная сфера лежит внутри области, ограниченной сферой радиуса $r\Rightarrow Q=Q_{sphere}\Rightarrow E={\frac {Q_{sphere}}{\varepsilon \varepsilon _{0}4\pi r^{2}}}$

Электрическое поле заряженного шара

Закон Гаусса в интегральной форме выглядит как:

$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =\int \limits _{v}\rho \ dv$, где

$\mathbf {D}$ — электрическая индукция, определяемая формулой $\mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E}$, где

$\varepsilon$ — напряженность электрического поля

$\varepsilon _{0}$ — электрическая постоянная

$\mathbf {E}$ — напряженность электрического поля

$\rho =const$ — объемная плотность заряда

и, с учётом пояснённого, может быть записан как $\oint \limits _{\mathbf {s} }\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} =\int \limits _{v}\rho \ dv$

Интеграл справа берется по объему, который ограничивает поверхность $s$. В качестве поверхности $s$ рассмотрим сферу радиусом $r$ с центром, совпадающим с центром заряженной сферы. Ее площедь $S(r)=4\pi r^{2}$, объем: $V(r)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$.

$ES={\frac {Q}{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$

$Q$ — заряд внутри области, ограниченной сферой радиуса $r$

$Q_{ball}$ — заряд заряженного шара радиусом $R$

$R$ — радиус заряженного шара

$E={\frac {Q}{\varepsilon \varepsilon _{0}4\pi r^{2}}}$

Если $r<R\Rightarrow$ область, ограниченная сферой радиуса $r$, лежит внутри заряженной сферы, а потому не содержит зарядов $Q={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho \Rightarrow E={\frac {Q}{\varepsilon \varepsilon _{0}4\pi r^{2}}}={\frac {{\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}4\pi r^{2}}}={\frac {r\rho }{3\varepsilon \varepsilon _{0}}}$

Таким образом, если двигаться от поверхности шара к его центру напряженность электрического поля будет убывать по линейному закону до нуля.

Eсли $r\geqq R\Rightarrow$ заряженная сфера лежит внутри области, ограниченной сферой радиуса $r\Rightarrow Q=Q_{sphere}\Rightarrow E={\frac {Q_{sphere}}{\varepsilon \varepsilon _{0}4\pi r^{2}}}={\frac {{\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}4\pi r^{2}}}={\frac {\rho R^{3}}{3r^{2}\varepsilon \varepsilon _{0}}}$

Если двигаться прочь от шара, поле будет ослабевать по обратно квадратичному закону, как и в случае с заряженной сферой.

Ссылки

• Теорема гаусса