Теорема Мейсона — Стотерса

Теорема Мейсона — Стотерса (также известная как лемма Мейсона или $abc$-теорема для многочленов) — математическая теорема в области алгебраической теории чисел и коммутативной алгебры, описывающая жёсткие ограничения на степени взаимно простых многочленов, удовлетворяющих аддитивному соотношению. Является функциональным (полиномиальным) аналогом знаменитой $abc$-гипотезы для целых чисел.

Теорема была впервые доказана шотландским математиком У. У. Стотерсом в 1981 году и, независимо, британским математиком Ричардом Мейсоном в 1983 году. Впоследствии она послужила главной мотивацией для формулировки $abc$-гипотезы в классической арифметике.

Формулировка

Пусть $k$ — произвольное поле, а $k[t]$ — кольцо многочленов от одной переменной над этим полем.

Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t), b(t), c(t) \in k[t]} — три взаимно простых в совокупности многочлена (то есть не имеющих общих нетривиальных делителей), удовлетворяющих тождеству:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t) + b(t) = c(t)}

Если хотя бы один из этих многочленов не является константой (то есть их формальные производные не равны тождественно нулю), то выполняется следующее строгое неравенство для их степеней:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \max(\deg(a), \deg(b), \deg(c)) \le N_0(abc) - 1}

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_0(P)} обозначает количество различных корней многочлена Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} в алгебраическом замыкании поля Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} (иными словами, степень радикала многочлена Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} , или число корней без учёта их кратностей).

Замечание: Если поле Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} имеет положительную характеристику Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p > 0} , теорема остаётся верной при дополнительном условии, что не все производные Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a', b', c'} равны нулю (то есть не все из заданных многочленов являются полными Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p} -ми степенями).

Доказательство

Классическое доказательство опирается на элементарные свойства формальной производной и определителя Вронского.

Поскольку Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a + b = c} , дифференцирование по переменной Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} даёт:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a' + b' = c'}

Рассмотрим определитель Вронского (вронскиан) для функций Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} и $b$:

$W=ab'-a'b$

Подставляя $b=c-a$ и $b'=c'-a'$, получаем:

$W=a(c'-a')-a'(c-a)=ac'-ac'-a'c+a'a=ac'-a'c$

Аналогично показывается, что $W$ равен $cb'-c'b$. Таким образом, $W$ симметричен относительно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a, b, c} (с точностью до знака).

Заметим, что $W\neq 0$. В противном случае $ab'=a'b$, что означало бы (в силу взаимной простоты $a$ и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} ), что многочлен $a$ делит свою производную $a'$. Для многочлена положительной степени это невозможно, так как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \deg(a') < \deg(a)} , если только Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a' = 0} (что вместе с $b'=0$ исключено условием).

Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} — алгебраическое замыкание поля $k$. Разложим произведение $abc$ на неприводимые линейные множители в $R[t]$:

$abc=\lambda \prod _{i=1}^{m}(t-\alpha _{i})^{e_{i}}$

где $\alpha _{i}$ — попарно различные корни, $e_{i}\geq 1$ — их кратности. Заметим, что число различных корней $m=N_{0}(abc)$.

Если $\alpha _{i}$ является корнем многочлена $a$ с кратностью Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e} , то он делит $a$ с кратностью $e$, а формальную производную $a'$ — с кратностью $e-1$. Следовательно, бином $(t-\alpha _{i})$ делит вронскиан $W=ab'-a'b$ как минимум с кратностью $e-1$. Поскольку $a,b,c$ попарно взаимно просты (что следует из $a+b=c$ и взаимной простоты в совокупности), каждый корень $\alpha _{i}$ принадлежит ровно одному из этих трёх многочленов. Применяя данное рассуждение ко всем корням произведения $abc$, получаем, что многочлен

$V=\prod _{i=1}^{m}(t-\alpha _{i})^{e_{i}-1}$

делит вронскиан $W$.

Сравним степени. С одной стороны, степень Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V} равна:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \deg(V) = \sum_{i=1}^m (e_i - 1) = \deg(abc) - m = \deg(a) + \deg(b) + \deg(c) - N_0(abc)}

С другой стороны, из определения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = a b' - a' b} следует:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \deg(W) \le \deg(a) + \deg(b) - 1}

Так как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V} делит Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W \neq 0} , выполняется неравенство Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \deg(V) \le \deg(W)} . Подставляя полученные выражения, имеем:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \deg(a) + \deg(b) + \deg(c) - N_0(abc) \le \deg(a) + \deg(b) - 1}

Сокращая Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \deg(a) + \deg(b)} , получаем:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \deg(c) \le N_0(abc) - 1}

В силу полной симметрии задачи относительно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a, b, c} (свойства вронскиана это подтверждают), аналогичные оценки верны для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \deg(a)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \deg(b)} , что завершает доказательство теоремы.

Следствия и приложения

Великая теорема Ферма для многочленов

Одним из самых известных применений теоремы Мейсона — Стотерса является поразительно короткое и элегантное доказательство аналога Великой теоремы Ферма для кольца многочленов.

Утверждение: Уравнение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X^n + Y^n = Z^n} не имеет решений в непостоянных попарно взаимно простых многочленах Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X, Y, Z \in k[t]} при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n \ge 3} .

Доказательство: Допустим, такое решение существует. Применим теорему Мейсона — Стотерса к Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = X^n} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b = Y^n} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c = Z^n} . Очевидно, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \deg(a) = n \deg(X)} и так далее. Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d = \max(\deg(X), \deg(Y), \deg(Z))} . Тогда максимальная степень среди Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a, b, c} равна Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle nd} .

Согласно теореме:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle nd \le N_0(X^n Y^n Z^n) - 1}

Поскольку множества корней многочленов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P^n} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} совпадают (игнорируя кратность), Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_0(X^n Y^n Z^n) = N_0(XYZ)} . Очевидно, что количество различных корней многочлена не может превышать его степени, поэтому:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_0(XYZ) \le \deg(XYZ) = \deg(X) + \deg(Y) + \deg(Z) \le 3d}

Подставляя это в исходное неравенство, получаем:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle nd \le 3d - 1}

Так как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d \ge 1} (многочлены не являются константами), это неравенство возможно только при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n \le 2} . При Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n \ge 3} приходим к строгому противоречию.

Обобщение на алгебраические кривые

Теорема допускает естественное геометрическое обобщение на произвольные проективные алгебраические кривые в контексте арифметики функциональных полей.

Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} — гладкая проективная кривая рода Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g} над алгебраически замкнутым полем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} . Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a, b, c} — рациональные функции на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , удовлетворяющие аддитивному соотношению Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a+b=c} (где функции не являются константами и не имеют общих нулей и полюсов), то выполняется:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \max(\deg(a), \deg(b), \deg(c)) \le |S| + 2g - 2}

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S} — множество всех точек на кривой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , в которых хотя бы одна из функций Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a, b} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c} имеет нуль или полюс, а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \deg(f)} обозначает степень отображения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f: C \to \mathbb{P}^1} . Доказательство этого факта базируется на применении формулы Римана — Гурвица. При Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g=0} (для проективной прямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{P}^1} , которая соответствует кольцу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k[t]} ) формула даёт ограничение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |S| - 2} , что (с учётом точки на бесконечности) в точности эквивалентно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_0(abc) - 1} .

Связь с abc-гипотезой

Открытие и публикация теоремы Мейсона — Стотерса оказали колоссальное влияние на современную теорию чисел. Заметив глубокую структурную аналогию между кольцом многочленов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{F}_q[t]} и кольцом целых чисел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{Z}} (где степени многочлена соответствует логарифм модуля числа, а количеству различных корней — радикал целого числа, то есть произведение всех его простых делителей), математики Дэвид Массер и Джозеф Эстерле в 1985 году перенесли результат Мейсона на язык чисел, сформулировав знаменитую Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle abc} -гипотезу.

В то время как полиномиальный случай (теорема Мейсона — Стотерса) доказывается алгебраически за счёт существования оператора формального дифференцирования (которого нет в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{Z}} ), числовой случай Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle abc} -гипотезы остаётся одной из сложнейших и важнейших проблем математики.

Литература

• Stothers W. W. Polynomial identities and Hauptmodulnангл. // The Quarterly Journal of Mathematics. — 1981. — В. 3. — том 32. — С. 349–370. — DOI:10.1093/qmath/32.3.349
• Mason R. C. Equations over function fieldsангл. // Number Theory, Noordwijkerhout 1983. — Springer, 1984. — том 1068. — С. 149–157. — DOI:10.1007/BFb0099449
• Lang S. Algebra. — Revised 3rd ed.. — Springer, 2002. — ISBN 978-0-387-95385-4.
• Прасолов В. В. Многочлены. — МЦНМО, 2003. — ISBN 5-94057-077-1.