Теорема Мейсона — Стотерса

Теорема Мейсона — Стотерса (также известная как лемма Мейсона или $abc$-теорема для многочленов) — математическая теорема в области алгебраической теории чисел и коммутативной алгебры, описывающая жёсткие ограничения на степени взаимно простых многочленов, удовлетворяющих аддитивному соотношению. Является функциональным (полиномиальным) аналогом знаменитой $abc$-гипотезы для целых чисел.

Теорема была впервые доказана шотландским математиком У. У. Стотерсом в 1981 году и, независимо, британским математиком Ричардом Мейсоном в 1983 году. Впоследствии она послужила главной мотивацией для формулировки $abc$-гипотезы в классической арифметике.

Формулировка

Пусть $k$ — произвольное поле, а $k[t]$ — кольцо многочленов от одной переменной над этим полем.

Пусть $a(t),b(t),c(t)\in k[t]$ — три взаимно простых в совокупности многочлена (то есть не имеющих общих нетривиальных делителей), удовлетворяющих тождеству:

$a(t)+b(t)=c(t)$

Если хотя бы один из этих многочленов не является константой (то есть их формальные производные не равны тождественно нулю), то выполняется следующее строгое неравенство для их степеней:

$\max(\deg(a),\deg(b),\deg(c))\leq N_{0}(abc)-1$

где $N_{0}(P)$ обозначает количество различных корней многочлена $P$ в алгебраическом замыкании поля $k$ (иными словами, степень радикала многочлена $P$, или число корней без учёта их кратностей).

Замечание: Если поле $k$ имеет положительную характеристику $p>0$, теорема остаётся верной при дополнительном условии, что не все производные $a',b',c'$ равны нулю (то есть не все из заданных многочленов являются полными $p$-ми степенями).

Доказательство

Классическое доказательство опирается на элементарные свойства формальной производной и определителя Вронского.

Поскольку $a+b=c$, дифференцирование по переменной $t$ даёт:

$a'+b'=c'$

Рассмотрим определитель Вронского (вронскиан) для функций $a$ и $b$:

$W=ab'-a'b$

Подставляя $b=c-a$ и $b'=c'-a'$, получаем:

$W=a(c'-a')-a'(c-a)=ac'-ac'-a'c+a'a=ac'-a'c$

Аналогично показывается, что $W$ равен $cb'-c'b$. Таким образом, $W$ симметричен относительно $a,b,c$ (с точностью до знака).

Заметим, что $W\neq 0$. В противном случае Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ab' = a'b} , что означало бы (в силу взаимной простоты Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} ), что многочлен Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} делит свою производную Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a'} . Для многочлена положительной степени это невозможно, так как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \deg(a') < \deg(a)} , если только Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a' = 0} (что вместе с Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b'=0} исключено условием).

Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} — алгебраическое замыкание поля Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} . Разложим произведение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle abc} на неприводимые линейные множители в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R[t]} :

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle abc = \lambda \prod_{i=1}^m (t - \alpha_i)^{e_i}}

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_i} — попарно различные корни, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e_i \ge 1} — их кратности. Заметим, что число различных корней Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m = N_0(abc)} .

Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_i} является корнем многочлена $a$ с кратностью $e$, то он делит $a$ с кратностью $e$, а формальную производную $a'$ — с кратностью $e-1$. Следовательно, бином $(t-\alpha _{i})$ делит вронскиан $W=ab'-a'b$ как минимум с кратностью $e-1$. Поскольку $a,b,c$ попарно взаимно просты (что следует из $a+b=c$ и взаимной простоты в совокупности), каждый корень $\alpha _{i}$ принадлежит ровно одному из этих трёх многочленов. Применяя данное рассуждение ко всем корням произведения $abc$, получаем, что многочлен

$V=\prod _{i=1}^{m}(t-\alpha _{i})^{e_{i}-1}$

делит вронскиан $W$.

Сравним степени. С одной стороны, степень $V$ равна:

$\deg(V)=\sum _{i=1}^{m}(e_{i}-1)=\deg(abc)-m=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-N_{0}(abc)$

С другой стороны, из определения $W=ab'-a'b$ следует:

$\deg(W)\leq \deg(a)+\deg(b)-1$

Так как $V$ делит $W$ и $W\neq 0$, выполняется неравенство $\deg(V)\leq \deg(W)$. Подставляя полученные выражения, имеем:

$\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-N_{0}(abc)\leq \deg(a)+\deg(b)-1$

Сокращая $\deg(a)+\deg(b)$, получаем:

$\deg(c)\leq N_{0}(abc)-1$

В силу полной симметрии задачи относительно $a,b,c$ (свойства вронскиана это подтверждают), аналогичные оценки верны для $\deg(a)$ и $\deg(b)$, что завершает доказательство теоремы.

Следствия и приложения

Великая теорема Ферма для многочленов

Одним из самых известных применений теоремы Мейсона — Стотерса является поразительно короткое и элегантное доказательство аналога Великой теоремы Ферма для кольца многочленов.

Утверждение: Уравнение $X^{n}+Y^{n}=Z^{n}$ не имеет решений в непостоянных попарно взаимно простых многочленах $X,Y,Z\in k[t]$ при $n\geq 3$.

Доказательство: Допустим, такое решение существует. Применим теорему Мейсона — Стотерса к $a=X^{n}$, $b=Y^{n}$, $c=Z^{n}$. Очевидно, что $\deg(a)=n\deg(X)$ и так далее. Пусть $d=\max(\deg(X),\deg(Y),\deg(Z))$. Тогда максимальная степень среди $a,b,c$ равна $nd$.

Согласно теореме:

$nd\leq N_{0}(X^{n}Y^{n}Z^{n})-1$

Поскольку множества корней многочленов $P^{n}$ и $P$ совпадают (игнорируя кратность), $N_{0}(X^{n}Y^{n}Z^{n})=N_{0}(XYZ)$. Очевидно, что количество различных корней многочлена не может превышать его степени, поэтому:

$N_{0}(XYZ)\leq \deg(XYZ)=\deg(X)+\deg(Y)+\deg(Z)\leq 3d$

Подставляя это в исходное неравенство, получаем:

$nd\leq 3d-1$

Так как $d\geq 1$ (многочлены не являются константами), это неравенство возможно только при $n\leq 2$. При $n\geq 3$ приходим к строгому противоречию.

Обобщение на алгебраические кривые

Теорема допускает естественное геометрическое обобщение на произвольные проективные алгебраические кривые в контексте арифметики функциональных полей.

Пусть $C$ — гладкая проективная кривая рода $g$ над алгебраически замкнутым полем $k$. Если $a,b,c$ — рациональные функции на $C$, удовлетворяющие аддитивному соотношению $a+b=c$ (где функции не являются константами и не имеют общих нулей и полюсов), то выполняется:

$\max(\deg(a),\deg(b),\deg(c))\leq |S|+2g-2$

где $S$ — множество всех точек на кривой $C$, в которых хотя бы одна из функций $a,b$ или $c$ имеет нуль или полюс, а $\deg(f)$ обозначает степень отображения $f:C\to \mathbb {P} ^{1}$. Доказательство этого факта базируется на применении формулы Римана — Гурвица. При $g=0$ (для проективной прямой $\mathbb {P} ^{1}$, которая соответствует кольцу $k[t]$) формула даёт ограничение $|S|-2$, что (с учётом точки на бесконечности) в точности эквивалентно $N_{0}(abc)-1$.

Связь с abc-гипотезой

Открытие и публикация теоремы Мейсона — Стотерса оказали колоссальное влияние на современную теорию чисел. Заметив глубокую структурную аналогию между кольцом многочленов $\mathbb {F} _{q}[t]$ и кольцом целых чисел $\mathbb {Z}$ (где степени многочлена соответствует логарифм модуля числа, а количеству различных корней — радикал целого числа, то есть произведение всех его простых делителей), математики Дэвид Массер и Джозеф Эстерле в 1985 году перенесли результат Мейсона на язык чисел, сформулировав знаменитую $abc$-гипотезу.

В то время как полиномиальный случай (теорема Мейсона — Стотерса) доказывается алгебраически за счёт существования оператора формального дифференцирования (которого нет в $\mathbb {Z}$), числовой случай Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle abc} -гипотезы остаётся одной из сложнейших и важнейших проблем математики.

Литература

• Stothers W. W. Polynomial identities and Hauptmodulnангл. // The Quarterly Journal of Mathematics. — 1981. — В. 3. — том 32. — С. 349–370. — DOI:10.1093/qmath/32.3.349
• Mason R. C. Equations over function fieldsангл. // Number Theory, Noordwijkerhout 1983. — Springer, 1984. — том 1068. — С. 149–157. — DOI:10.1007/BFb0099449
• Lang S. Algebra. — Revised 3rd ed.. — Springer, 2002. — ISBN 978-0-387-95385-4.
• Прасолов В. В. Многочлены. — МЦНМО, 2003. — ISBN 5-94057-077-1.