Теорема о произведении отрезков касательной гипотезы

Теорема о площади прямоугольного треугольника через отрезки касательной — утверждение элементарной геометрии, устанавливающее связь между площадью прямоугольного треугольника и отрезками, на которые точка касания вписанной окружности делит его гипотенузу.

Формулировка

Файл:Иллюстрация теоремы о отрезках гипотенузы.png

Иллюстрация теоремы о отрезках гипотенузы

Если в прямоугольный треугольник вписана окружность, и точка касания этой окружности с гипотенузой делит её на отрезки длиной $m$ и $n$, то площадь $S$ этого треугольника равна произведению этих отрезков:

$S=m\cdot n$.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть вписанная окружность касается гипотенузы $AB$ в точке $K$, причём $AK=m$, $BK=n$. Обозначим радиус вписанной окружности через $r$.

По свойству касательных, проведённых из одной точки, отрезки касательных равны. Следовательно, если окружность касается катетов $AC$ и $BC$ в точках $L$ и $M$ соответственно, то $AL=AK=m$ и $BM=BK=n$. Так как $\angle C=90^{\circ }$, четырёхугольник $CLOM$ (где $O$ — центр окружности) является квадратом со стороной $r$, откуда $CL=CM=r$. Таким образом, катеты треугольника выражаются как:

$AC=m+r$,

$BC=n+r$.

По теореме Пифагора:

$(m+n)^{2}=(m+r)^{2}+(n+r)^{2}$.

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:

$mn=r(m+n)+r^{2}$.

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр $p$:

$S=r\cdot p=r\cdot {\frac {AC+BC+AB}{2}}=r\cdot {\frac {(m+r)+(n+r)+(m+n)}{2}}=r(m+n+r)=r(m+n)+r^{2}$.

Сравнивая полученное выражение для площади с выражением из теоремы Пифагора, получаем:

$S=mn$.

Теорема доказана.

Следствия и применение

• Теорема позволяет находить площадь прямоугольного треугольника, зная лишь два отрезка, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу, без вычисления катетов или высоты.
• Данное утверждение может быть использовано при решении планиметрических задач и на математических олимпиадах.

Литература

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7—9 классы. — М.: Просвещение, 2015. — С. 187.
• Погорелов А. В. Геометрия. 7—11 классы. — М.: Просвещение, 2014. — С. 123.
• Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7—9 классы. — М.: Дрофа, 2001. — С. 214.