Теория инвариантов

Теория инвариантов — раздел алгебраической геометрии, связанный с изучением действий алгебраических групп преобразований и описанием их алгебраических инвариантов, то есть многочленов, которые не меняются при действии группы.

История

Классический период теории инвариантов был в XIX веке. Тогда основной задачей теории инвариантов считалось нахождение полной системы инвариантов для действия группы $SL_{2}$ матриц $2\times 2$ c определителем 1 на бинарных формах степени $d$, то есть формах вида

$a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}y+...+a_{d-1}xy^{d-1}+a_{d}y^{d}$.

Инварианты — многочлены от коэффициентов $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{d}$, которые не меняются при замене координат $x$, $y$ с помощью матрицы с определителем 1.

В дальнейшем вместо группы $SL_{2}$ стала рассматриваться любая алгебраическая группа G, действующая в конечномерном линейном пространстве V. Инварианты — многочлены от координат пространства V, которые не меняются при действии группы G.