Тригонометрические функции, их графики

Функция синуса

График функции $y=\sin x$

Функция синуса имеет вид:

$y=\sin x$.

Основные свойства этой функции:

1. Область определения $D(x)=\mathbb {R}$;
2. Область значений $E(y)=[-1;1]$;
3. Функция нечётная $\sin(-x)=-\sin x$;
4. Функция не является монотонной на всей своей области определения;
5. Функция периодична с периодом $T=2\pi$.

Синусоида

Синусо́ида — плоская кривая, задаваемая в прямоугольных координатах уравнением

$y=\sin x.$

Построение графика удобно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом -1, что обусловленно областью значений функции.

Также важно помнить значения синусов нескольких основных табличных углов, что позволит построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать её вправо и влево с периодом $2\pi$.

Функция косинуса

График функции $y=\cos x$

Функция косинуса имеет вид:

$y=\cos x$.

Основные свойства этой функции:

1. Область определения $D(x)=\mathbb {R}$;
2. Область значений $E(y)=[-1;1]$;
3. Функция чётная $\cos(-x)=\cos x$;
4. Функция не является монотонной на всей своей области определения;
5. Функция периодична с периодом $T=2\pi$.

Косинусоида

Косинусо́ида — плоская кривая, задаваемая в прямоугольных координатах уравнением

$y=\cos x$.

Построение графика косинуса также удобно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом -1, в соответствии с областью значений функции.

Полезно помнить значения косинусов нескольких основных табличных углов, что позволит построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать её вправо и влево с периодом $2\pi$.

Функция тангенса

График функции $y=\mathrm {tg} x$

Функция тангенса имеет вид:

$y=\mathrm {tg} x$.

Основные свойства этой функции:

1. Область определения $D(x)=\mathbb {R}$, кроме $x={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z}$ (тангенс этих аргументов не существует);
2. Область значений $E(y)=\mathbb {R}$;
3. Функция нечётная $\mathrm {tg} (-x)=-\mathrm {tg} x$;
4. Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса (см. рис.);
5. Функция периодична с периодом $T=\pi$.

Тангенсоида

Построение графика функции $y=\mathrm {tg} x$ удобно начинать с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, то есть $x=-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}$ и т. д.

Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полос, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает.

Все ветки изображаем одинаково, так как функция имеет период, равный $\pi$. Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на вдоль оси $\pi$ абсцисс.

Функция котангенса

График функции $y=\mathrm {ctg} x$

Функция котангенса имеет вид:

$y=\mathrm {ctg} x$.

Основные свойства этой функции:

1. Область определения $D(x)=\mathbb {R}$, кроме $x=\pi n,n\in \mathbb {Z}$ (котангенс этих аргументов не существует);
2. Область значений $E(y)=\mathbb {R}$;
3. Функция нечётная $\mathrm {ctg} (-x)=-\mathrm {ctg} x$;
4. Функция монотонно убывает в пределах своих веток, аналогичных веткам тангенса (см. рис.);
5. Функция периодична с периодом $T=\pi$.

Котангенсоида

Как и для тангенса, построение удобно начинать с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, то есть $x=-\pi ,0,\pi$ и т. д. Далее изображаем ветки котангенса внутри каждой из образованных асимптотами полос, прижимая их к левой асимптоте и к правой. В этом случае учитываем, что каждая ветка монотонно убывает. Все ветки аналогично тангенсу изображаем одинаково, так как функция имеет период, равный $\pi$.

Вычисление периодов тригонометрических функций со сложным аргументом

У тригонометрических функций со сложным аргументом период может быть нестандартным.

Например, у функций:

• $y=\sin(ax\pm b)$ и
• $y=\cos(ax\pm b)$

период будет равен:

$T={\frac {2\pi }{a}}$.

Для функций:

• $y=\mathrm {tg} (ax\pm b)$ и
• $y=\mathrm {ctg} (ax\pm b)$

период составляет

$T={\frac {\pi }{a}}$.

Как можно заметить, новый период получается делением стандартного периода на множитель при аргументе. От других видоизменений функции он не зависит.

Ссылки

• «Что такое синус и синусоида» — перевод статьи Intuitive Understanding of Sine Waves | BetterExplainedангл.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Тригонометрические функции, их графики», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Тригонометрические_функции,_их_графики» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».