Умножение вероятностей

Умножение вероятностей это способ определния вероятности двух событий, происходящих в одно и тоже время. Если $A$ и $B$ события в пространстве элементарных событий $S$, $P(A\cap B)$ или $AB$ обозначает событие при котором происходят и событие $A$ и событие $B$. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, при условии, что первое произошло:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)} .

Пример умножения вероятностей для любых двух событий. В колоде карт 52 карты, из них четыре туза. Какова вероятность что при сдаче выпадет два туза подряд.

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \blacktriangleright } Пусть событие $A$ — выпадание туза в первый раз, событие $B$ — выпадание туза во второй раз. Тогда Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle A\cap B}  — событие, что оба раза выпадут тузы. Вероятности событий будут равны: Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle P(A)={4 \over 52}} , $P(B|A)={3 \over 51}$. По формуле аксиомы вероятности, вероятность выпадания двух тузов подряд при сдаче равна:

$P(A\cap B)={4 \over 52}*{3 \over 51}={12 \over 2652}={1 \over 221}$ $\blacktriangleleft$

Умножение вероятностей для $n$ любых событий:

$P(A_{1}\cap A_{2}\cap ...A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})...P(A_{n}|A_{1}...A_{n-1})$.

Умножение вероятностей для $n$ взаимно независимых событий:

$P(\prod _{k=1}^{n}A_{k})=\prod _{k=1}^{n}P(A_{k})$

Вероятность произведения $n$ взаимно независимых событий равна произведению их вероятностей.

См. также

Условная вероятность.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Умножение вероятностей», расположенная по адресу: — «https://руни.рф/index.php/Умножение_вероятностей» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».