Амплитуда и фаза колебаний

Синусоидальное колебание напряжения с постоянной амплитудой.

1. Амплитуда (пиковое значение напряжения) $\scriptstyle {\hat {U}}$;
2. Размах колебания (напряжение от пика до пика) $\scriptstyle 2{\hat {U}}$;
3. Эффективное (среднеквадратическое) напряжение, для синусоидального колебания равно $\scriptstyle {\hat {U}}/{\sqrt {2}}$;
4. Период колебания.

Амплитуда и фаза колебаний — начальные сведения об амплитуде и фазе колебаний.

Амплиту́да — максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном движении.

Неотрицательная скалярная величина, размерность которой совпадает с размерностью определяемой физической величины.

Амплитуда колебаний

В общем случае гармоническое колебание математически записывается в виде:

$x(t)=A(t)\sin(\omega t+\varphi )$

или

$x(t)=A(t)\cos(\omega t+\varphi )$,

где $x(t)$ — отклонение колеблющейся величины в текущий момент времени $t$ от среднего арифметического за период значения, например, в кинематике — смещение, отклонение колеблющейся точки от положения равновесия;

$A(t)$ — амплитуда колебания, то есть максимальное за период отклонение колеблющейся величины от среднего за период значения, размерность $A(t)$ совпадает с размерностью $x(t),$ в общем случае амплитуда зависит от времени, например, при затухающем собственном колебании осциллятора;

$\omega$ (радиан/с, градус/с) — круговая (угловая) частота, показывающая, на сколько радиан (градусов) изменяется фаза колебания за 1 с;

$\varphi$ (радиан, градус) — начальная фаза колебания.

• амплитуда для механического колебания тела (вибрация), для волн на струне или пружине — это расстояние и записывается в единицах длины;
• амплитуда звуковых волн и аудиосигналов обычно относится к амплитуде давления воздуха в волне, но иногда описывается как амплитуда смещения относительно равновесия (воздуха или диафрагмы говорящего). Её логарифм обычно измеряется в децибелах (дБ);

Форма изменения амплитуды называется огибающей.

Фаза колебаний

Графики двух периодических функций (колебаний) одинаковой частоты задержаны (сдвинуты) один относительно другого. Задержка во времени эквивалентна соответствующей разности фаз

Фа́за колеба́ний, полная или мгновенная — аргумент периодической функции, описывающей колебательный или волновой процесс.

Определения

Фаза колебаний начальная — значение фазы колебаний (полной) в начальный момент времени, то есть при $t=0$ (для колебательного процесса), а также в начальный момент времени в начале системы координат, то есть при $t=0$ в точке с координатами $(x,\ y,\ z)=0$ (для волнового процесса). Фаза колебания — гармоническое колебание $\varphi .$

Величину $\varphi ,$ входящую в аргумент функций косинуса или синуса, называют фазой колебаний описываемой этой функцией:

$\varphi =\omega t.$

Как правило, о фазе говорят применительно к гармоническим колебаниям или монохроматическим волнам. При описании величины, испытывающей гармонические колебания, используется, например, одно из выражений:

$A\cos(\omega t+\varphi _{0}),$

$A\sin(\omega t+\varphi _{0}),$

$Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})}.$

Аналогично, при описании волны, распространяющейся в одномерном пространстве, например, используются выражения вида:

$A\cos(kx-\omega t+\varphi _{0}),$

$A\sin(kx-\omega t+\varphi _{0}),$

$Ae^{i(kx-\omega t+\varphi _{0})},$

для волны в пространстве любой размерности (например, в трёхмерном пространстве):

$A\cos({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0}),$

$A\sin({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0}),$

$Ae^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0})}.$

Фаза колебаний (полная) в этих выражениях — аргумент функции, то есть выражение, записанное в скобках; фаза колебаний начальная — величина $\varphi _{0},$ являющаяся одним из слагаемых полной фазы. Говоря о полной фазе, слово полная часто опускают.

Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут различаться фазами. Так как:

$\omega =2\pi /T,$ то $\varphi =\omega t=2\pi t/T.$

Отношение $t/T$ указывает, сколько периодов прошло от момента начала колебаний. Любому значению времени $t,$ выраженному в числе периодов $T,$ соответствует значение фазы $\varphi ,$ выраженное в радианах. Так, по прошествии времени $t=T/4$ (четверти периода) фаза будет $\varphi =\pi /2,$ по прошествии половины периода — $\varphi =\pi ,$ по прошествии целого периода $\varphi =2\pi$ и т. д.

Поскольку функции синус и косинус совпадают друг с другом при сдвиге аргумента (то есть фазы) на $\pi /2,$ то во избежание путаницы лучше пользоваться для определения фазы только одной из этих двух функций, а не той и другой одновременно. По обычному соглашению фазой считают аргумент косинуса, а не синуса.

То есть, для колебательного процесса (см. выше) фаза (полная):

$\varphi =\omega t+\varphi _{0},$

для волны в одномерном пространстве:

$\varphi =kx-\omega t+\varphi _{0},$

для волны в трёхмерном пространстве или пространстве любой другой размерности:

$\varphi ={\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0}$,

где $\omega$ — угловая частота (величина, показывающая, на сколько радиан или градусов изменится фаза за 1 с; чем величина выше, тем быстрее растёт фаза с течением времени);

$t$ — время;

$\varphi _{0}$ — начальная фаза (то есть фаза при $t=0);$

$k$ — волновое число;

$x$ — координата точки наблюдения волнового процесса в одномерном пространстве;

${\vec {k}}$ — волновой вектор;

${\vec {r}}$ — радиус-вектор точки в пространстве (набор координат, например, декартовых).

В приведённых выше выражениях фаза имеет размерность угловых единиц (радианы, градусы). Фазу колебательного процесса по аналогии с механическим вращательным также выражают в циклах, то есть долях периода повторяющегося процесса:

1 цикл = $2\pi$ радиан = 360 угловых градусов.

В аналитических выражениях (в формулах) преимущественно (и по умолчанию) используется представление фазы в радианах, представление в градусах также встречается достаточно часто (по-видимому, как предельно явное и не приводящее к путанице, поскольку знак градуса не принято никогда опускать ни в устной речи, ни в записях). Указание фазы в циклах или периодах (за исключением словесных формулировок) в технике сравнительно редко.

Иногда (в квазиклассическом приближении, где используются квазимонохроматические волны, то есть близкие к монохроматическим, но не строго монохроматические, а также в формализме интеграла по траекториям, где волны могут быть и далёкими от монохроматических, хотя всё же подобны монохроматическим) рассматривается фаза, являющаяся нелинейной функцией времени $t$ и пространственных координат ${\vec {r}},$ в принципе — произвольная функция:

$\varphi =\varphi ({\vec {r}},t).$

Литература

• Андронов А. А. Витт А. А. Хайкин С. Э. Теория колебаний. — Москва : Наука, 1981.
• Трубецков Д. И., Рожнев А. Г. Линейные колебания и волны : учебное. пособие для студентов вузов. — Москва : Издательство физико-математической литературы, 2001.
• Горелик Г. С. Колебания и волны : введение в акустику, радиофизику и оптику : учебное пособие для студентов вузов. — Москва : Физматлит, 2007.
• Бишоп Р. Колебания. — Москва : Вузовская книга, 2019.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Амплитуда и фаза колебаний», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Амплитуда_и_фаза_колебаний» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».