Биномиальная модель оценивания опционов

Биномиальная модель оценивания опционов является широко распространенным и с точки зрения прикладной математики достаточно простым и очевидным численным методом расчета цены опциона. Под ценой опциона колл мы понимаем сумму денег, которую должен уплатить сегодня покупатель опциона за право купить в некий будущий момент времени акцию по некоторой заданной цене. Аналогично для опциона пут ценой является сумма денег, которую должен уплатить сегодня покупатель опциона за право продать в некий будущий момент времени акцию по некоторой заданной цене. Указанный выше будущий момент называется моментом исполнения (экспирации) опциона. Очевидно, что в момент экспирации цены опционов колл и пут равняются:

$C=Max(S-K,0)$

$P=Max(K-S,0)$

(1)

Где

S — стоимость акции в момент экспирации;

K — заранее известная цена, по которой покупается (колл) или продается (пут) акция, т. н. страйк.

В момент покупки опциона цена акции в момент экспирации неизвестна. Предполагается, что эта цена является реализацией, значением, некоей случайной величины, а цена опциона является математическим ожиданием известной, вышеприведенной функции, описывающей цену опциона в момент экспирации с учетом дискаунта. Если обозначить через p(S) плотность распределения этой случайной величины, то цены европейских опционов колл и пут без учета дискаунта можно вычислить по формулам:

$C=\int \limits _{K}^{\infty }(S-K)p(S)\mathrm {d} S$

$P=\int \limits _{0}^{K}(K-S)p(S)\mathrm {d} S$

(2)

Таким образом, единственное, что надо знать для вычисления цены опционов — это плотность распределения будущей цены. К сожалению, это единственное не является таким уж маленьким и простым. Блэк и Шоулз постулировали, что распределение цены акции является лог-нормальным, то есть логарифм цены акции имеет нормальное распределение. Это предположение лежит в основе всей современной теории опционов. Таким образом, в соответствии с гипотезой Блэка-Шоулза плотность распределения будущей цены акции имеет вид:

$p(S)={\frac {1}{S\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln S-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$

(3)

Где

$\mu$-математическое ожидание логарифма цены акции;

$\sigma$-среднеквадратическое отклонение логарифма цены акции;

Из предыдущих формул следует, что цены опционов без учета дискаунта равняются:

$C=e^{\sigma ^{2}+\mu }N({\frac {\sigma ^{2}-\ln K+\mu }{\sigma }})-KN({\frac {-\ln K+\mu }{\sigma }})$

$P=-e^{\sigma ^{2}+\mu }N(-{\frac {\sigma ^{2}-\ln K+\mu }{\sigma }})+KN(-{\frac {-\ln K+\mu }{\sigma }})$

(4)

где:

$N(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-(u^{2}/2)}\mathrm {d} u$

 — известная функция Лапласа, кумулятивная функция нормального распределения.

Предположение о том, что будущая цена акции описывается лог-нормальным распределением следует из более общего предположения о том, что процесс изменения цены акции во времени является диффузионным процессом с двумя постоянными параметрами: сдвигом $\mu _{0}$ и диффузией $\sigma _{0}$, называемой в финансах волатильностью, то есть справедливо уравнение:

$dS={\mu _{0}}Sdt+{\sigma _{0}}S^{2}dW(t)$

(5)

где:

$W(t)$ — Винеровский процесс с единичной дисперсией.

$\mu _{0}=r_{d}-r_{f}$

$r_{d}$ — безрисковая процентная ставка

$r_{f}$ — дивидендная процентная ставка

В соответствии с формулой Ито $x=\ln(S)$ удовлетворяет уравнению:

$dx=({\mu _{0}-\sigma _{0}^{2}/2})dt+{\sigma _{0}}dW(t)$

(6)

Из этой формулы непосредственно следует, что в момент времени t от покупки опциона $x(t)=\ln(S(t))$ является нормальной величиной, математическое ожидание и средне-квадратическое отклонение которой равняются:

$\mu =\ln {S_{0}}+({\mu _{0}-\sigma _{0}^{2}/2})t$

$\sigma ={\sigma _{0}}{\sqrt {t}}$

(7)

где:

$S_{0}$ — известная цена акции в момент покупки опциона.

Как известно, математическое ожидание любой функции $U(t,x(t))$ от времени и траектории диффузионного процесса удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению в частных производных:

${\frac {\partial U}{\partial t}}=\mu _{0}{\frac {\partial U}{\partial x}}+\sigma _{0}^{2}/2{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}$

(8)

Следует иметь в виду, что в уравнении (8) время отсчитывается не от того момента, когда заключается сделка, а от момента экспирации. Решением уравнения (8) с начальными условиями (1) являются уравнения (4), в которых подставлены соответствующие параметры из уравнений (7). Эти решения являются хорошо известными формулами Блэка-Шоулза, позволющими вычислить цены европейского Кола и Пута при очевидном учете дискаунта, то есть после умножения на $e^{-r_{d}t}$. Для численного решения уравнения (8) можно воспользоваться соответствующей разностной схемой. В простейшем случае первая и вторая частные производные аппроксимируются следующими конечными разностями:

${\frac {\partial U(t,x)}{\partial t}}={\frac {U(t+\delta t,x)-U(t,x)}{\delta t}}$

${\frac {\partial U(t,x)}{\partial x}}={\frac {U(t,x+\delta x)-U(t,x-\delta x)}{2\delta x}}$

${\frac {\partial ^{2}U(t,x)}{\partial x^{2}}}={\frac {U(t,x+\delta x)+U(t,x-\delta x)-2U(t,x)}{\delta x^{2}}}$

(9)

Подставив формулы (9) в (8), получим следующую расчетную формулу, позволяющую перейти от времени $t$ к $t+\delta t$:

$U(t+\delta t,x)=U(t,x)(1-\sigma _{0}^{2}{\frac {\delta t}{\delta x^{2}}})+0.5U(t,x+\delta x)(\mu _{0}{\frac {\delta t}{\delta x}}+\sigma _{0}^{2}{\frac {\delta t}{\delta x^{2}}})+0.5U(t,x-\delta x)(-\mu _{0}{\frac {\delta t}{\delta x}}+\sigma _{0}^{2}{\frac {\delta t}{\delta x^{2}}})$

(10)

Отметим, что формула (10) относится к т.н. явным разностным схемам, в которых значения функции на последующем слое находится непосредственно по значениям на предыдущем слое. В т.н. неявных схемах для нахождения значений функции на последующем слое приходится решать систему линейных уравнений. Преимуществом явной схемы является уменьшенное по сравнению с неявной количество вычислений. Недостаток заключается в том, что такая схема может оказаться неустойчивой, что и происходит, например, при использовании биномиального метода для опционов с барьерами. Для реализации (10) необходимо выбрать два параметра: шаг по времени $\delta t$ и шаг по пространству $\delta x$. В биномиальном методе выбирается лишь шаг по времени. Точнее выбирается количество шагов n от 0 до времени экспирации, а шаг по времени равняется:

$\delta t={\frac {t}{n}}$

(11)

Шаг по пространству выбирается таким образом, что для перехода от предыдущего шага к последующему использовались не три значения функции, а лишь два. Собственно метод и называется «биномиал» из-за этого обстоятельства. Для этого принимается, что:

$1-\sigma _{0}^{2}{\frac {\delta t}{\delta x^{2}}}=0$

Из этой формулы следует, что шаг по пространству равняется:

$\delta x=\sigma _{0}{\sqrt {\delta }}t$

(12)

С учетом (12) схема вычислений (10), реализованная в биномиале имеет вид:

$U(t+\delta t,x)=0.5U(t,x+\delta x)({\frac {\mu _{0}{\sqrt {\delta }}t}{\sigma _{0}}}+1)+0.5U(t,x-\delta x)(-{\frac {\mu _{0}{\sqrt {\delta }}t}{\sigma _{0}}}+1)$

(13)

Формула (13) получена без каких-либо вероятностных соображений, исходя из хорошо известных методов численного решения дифферециальных уравнений в частных производных. Однако её легко можно интерпретировать на языке теории вероятности. Действительно, из формулы (13) следует, что цена опциона в последующий момент времени является математическим ожиданием цен опциона в двух соседних узлах сетки, ниже на один шаг и выше на один шаг. Вероятности перехода от этих узлов вверх и вниз являются соответствующими коэффициентами в формуле (13). То есть

$p_{up}=0.5({\frac {\mu _{0}{\sqrt {\delta }}t}{\sigma _{0}}}+1)$

$p_{down}=0.5(-{\frac {\mu _{0}{\sqrt {\delta }}t}{\sigma _{0}}}+1)$

(14)

Если определять пространственные узлы не по логарифмам цен акций, а по самим ценам, то верхние и нижние значения цен акций связаны со значением, откуда происходит движение зависимостями:

$S_{up}=Se^{\delta x}$

${\textstyle S_{down}=Se^{-\delta x}}$

(15)

Интересно отметить, насколько искусственно и непросто выводятся формулы (14) и (15), составляющие основу биномиального метода, в т. н. финансовой математике, и, в частности, в работах авторов метода. Отметим также, что в соответствии с формулой (13) в биномиальном методе используется не вся прямоугольная сетка с узлами по времени и пространстве, а т. н. треугольное дерево, в основании которого лежит момент времени, для которого и вычисляется цена опциона, а на каждом временном шаге значения функции считаются лишь в половине пространственных узлов. Очевидно, что рассмотренную схему вычислений можно использовать и для европейского опциона. Но поскольку в этом случае имеется явная аналитическая формула (Блэка-Шоулза), делать это нецелесообразно. В случае американского опциона после получения значения цены опциона по формуле (13) производится сравнение его со значением, полученным при ранней экспирации, то есть разности цены акции и страйка для колла и разности страйка и цены акции для пута. В случае превышения этими разностями цены опциона, последняя заменяется соответствующей разностью.

Литература

• Саймон Вайн Опционы. Полный курс для профессионалов. — М.: Альпина Паблишер, 2008. — 466 с. — ISBN 978-5-9614-0855-3.