Волны в электрических цепях

Уравнения Максвелла, из решения которых следует существование продольных и поперечных волн электрического поля, являются обобщением экспериментальных данных, основанных на способах наблюдения и измерения слишком грубых, чтобы с их помощью можно было обнаружить существование отдельных частиц электричества, отделенных друг от друга ничтожными расстояниями. Тем не менее, добавка, так называемого тока смещения, сделанная Максвеллом в уравнения, связывающие электрические и магнитные поля, позволила объяснить существование открытых позже электромагнитных волн и найти их скорость распространения. Существование электромагнитных волн и соответственно их скорость доказываются однородными уравнениями Максвелла. Эти волны, образовавшись источником, уже не нуждаются в существовании источника.

Электрические цепи состоят из проводников с высокой проводимостью. Соответственно однородные уравнения Максвелла, из которых следуют продольные и поперечные волны электрического поля в электрических цепях, должны содержать среду с проводимостью:

$\nabla \times {\overrightarrow {E}}=-\mu _{0}\mu {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {H}}$ (1)

$\nabla \times {\overrightarrow {H}}=\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {E}}+\sigma {\overrightarrow {E}}$ (2)

Дивергенция электрического поля не зависит от магнитного поля. Из уравнения (2) следует:

$\nabla \cdot \varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {E}}=-\nabla \cdot \sigma {\overrightarrow {E}}$ (3)

Электрическое поле зависит от изменения магнитного поля от времени. Отсюда, из уравнения (1): $\nabla \times \nabla {\overrightarrow {E}}=\nabla \nabla \cdot {\overrightarrow {E}}-\nabla ^{2}{\overrightarrow {E}}=-\mu _{0}\mu \nabla \times {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {H}}$ (4)

Подставляя в уравнение (4) уравнения (2) и (3) получаем волновое уравнение для волн электрического поля в среде с проводимостью: $-\nabla \nabla \cdot \sigma {\overrightarrow {E}}-\nabla ^{2}\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {E}}=-\mu _{0}\mu \varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {E}}+\sigma {\overrightarrow {E}})$ (5)

Анализ волнового уравнения (5) показывает, что существуют 2 вида волн электрического поля. Это волны от изменения суммарного заряда электронов и протонов проводника некоторого точечного объёма источника и волны от изменения их движения в нём. В первом случае электрическое поле направлено по радиусу от источника:

$-\nabla \nabla \cdot \sigma {\overrightarrow {E_{\gamma }}}-\nabla ^{2}\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {E_{\gamma }}}=-\mu _{0}\mu \varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {E_{\gamma }}}+\sigma {\overrightarrow {E_{\gamma }}})$ (6)

Вектор ${\overrightarrow {E_{\gamma }}}$ не зависит от направления радиуса и $-\nabla \nabla \cdot {\overrightarrow {E_{\gamma }}}=\nabla ^{2}{\overrightarrow {E_{\gamma }}}$ (7)

Тогда уравнение (6) преобразуется:

$\nabla ^{2}(\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {E_{\gamma }}}+\sigma {\overrightarrow {E_{\gamma }}})-\mu _{0}\mu \varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {E_{\gamma }}}+\sigma {\overrightarrow {E_{\gamma }}})=0$

Продольная волна электрического поля: $\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {E_{\gamma }}}+\sigma {\overrightarrow {E_{\gamma }}}$ распространяется по радиусу со скоростью $\nu =1/{\sqrt {\mu _{0}\mu \varepsilon _{0}\varepsilon }}$(9)

Задаваясь изменением источника в виде точечного объёма, можно найти поле этой волны:

$\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {E_{\kappa }}}+\sigma {\overrightarrow {E_{\gamma }}}={\frac {\partial \nu }{4\pi r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\rho (t-{\frac {r}{\nu }})$ (10)

В среде с проводимостью происходит как бы передача заряда от атомов проводящей среды соседним, что приводит к возникновению тока проводимости.

Во втором случае электрическое поле волны перпендикулярно направлению её распространения.

$\nabla ^{2}{\overrightarrow {E_{\perp }}}-\mu _{0}\mu \varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\overrightarrow {E_{\perp }}}-\mu _{0}\mu \delta {\frac {\partial }{\partial }}{\overrightarrow {E_{\perp }}}=0$ (11)

Появление первой производной от поля в уравнении (11) вызывает зависимость скорости распространения поперечной волны электрического поля от проводимости и от временной формы изменения движения электронов в источнике. Если $\delta =0$, то скорость распространения поперечной волны электрического поля такая же, как у продольной. Задаваясь временной формой изменения однородного тока источника в виде точечного объёма, можно найти поле этой волны:

${\overrightarrow {E_{\perp }}}={\frac {\mu _{0}\mu }{4\pi r}}{\overrightarrow {e_{\gamma }}}\times e_{\gamma }\times {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {j}}(t-{\frac {r}{\nu }})\partial \nu$ (12), где плотность тока ${\overrightarrow {j}}$ может быть результатом продольной волны электрического поля в проводнике.

Аналогично продольным и поперечным волнам электрического поля из однородных уравнений Максвелла находятся волны магнитного поля. Для этого необходимо вычислить дивергенцию от уравнения (1) и ротор от уравнения (2). В результате:

$\nabla \times {\overrightarrow {H}}=0$ (13)

$\nabla ^{2}{\overrightarrow {H}}-\mu _{0}\mu \varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\overrightarrow {H}}-\mu _{0}\mu \delta {\frac {\partial }{\partial }}{\overrightarrow {H}}=0$ (14)

Таким образом, считая, что магнитных зарядов не существует, магнитные волны являются чисто поперечными. Уравнение (14) полностью аналогично уравнению (11). Следовательно, скорость распространения магнитных волн такая же, как и скорость распространения поперечных волн электрического поля. Влияние проводимости среды на скорость распространения волн в обоих случаях одинаково. Переходя к неоднородным уравнениям Максвелла, можно связать поле поперечной магнитной волны с её источником в виде точечного объёма тока, считая проводимость среды равной нулю:

${\overrightarrow {H}}=-{\frac {1}{4\pi r^{2}}}{\overrightarrow {e_{\gamma }}}\times {\overrightarrow {j}}(t-{\frac {r}{\nu }})\partial \nu -{\frac {1}{4\pi r\nu }}{\overrightarrow {e_{\gamma }}}\times {\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {j}}(t-{\frac {r}{\nu }})\partial \nu$ (15)

Выражение (15) содержит две волны магнитного поля. Первое слагаемое представляет волну поперечного магнитного поля вблизи от источника, а второе слагаемое имеет временную форму, такую же, как временная форма поперечной волны электрического поля (12). Разница вектора магнитного поля, представляющего второе слагаемое, и вектора поперечной волны электрического поля в том, что эти вектора взаимноперпендикулярны. Их взаимосвязанные направления определяют направление распространения электромагнитной волны, которую они представляют. В электромагнитной волне в соответствии с законом сферического рассеяния убывают по мере её распространения не поля, которые она представляет, а плотность потока её энергии.

В веществе, как правило, в атомах количество электронов равно количеству протонов. Для того, чтобы в некоторой части вещества возник избыток электронов, необходимо, чтобы в другой части вещества возник недостаток электронов. Эти процессы происходят под действием некоторых сторонних сил, так как слабо связанным с атомом (свободным) электронам приходится преодолевать либо электрическое поле электронов, либо электрическое поле ядер атомов. Например, при движении отрезка провода поперек магнитного поля под действием силы Лоренца свободные электроны скапливаются на одном конце отрезка, а на другом образуется их недостаток. Эти места суммарного заряда электронов и протонов носят название полюсов. От полюсов начнут распространяться продольные волны электрического поля. Если проводимость среды равна нулю, то из выражения (10) следует:

$\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}E_{\gamma }={\frac {\partial \nu }{4\pi r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\rho (t-{\frac {r}{\nu }})$ (16) или $\varepsilon _{0}\varepsilon E_{\gamma }={\frac {\partial \nu }{4\pi r^{2}}}\rho (t-{\frac {r}{\nu }})$ (17), что представляет запаздывающий закон Кулона. Запаздывающий закон Кулона без вывода приводился Р. Фейнманом для нерелятивистски движущегося заряда. В случае неизменности сторонней силы между полюсами поле вне полюсов становится электростатическим. Наибольшая величина этого поля сосредоточена между полюсами и уравновешивает стороннее поле: $E=-E_{cm}$ (18)

При соединении полюсов проводом длиной $l$ и поперечным сечением $S$ и выполнении условия: $\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}E<<\sigma E$ (19), где $\varepsilon$ электрическая проницаемость среды вне проводника; $\sigma$ — проводимость проводника провода, выражение (10) упростится:

$\sigma E={\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial t}}q(t-{\frac {l}{\nu }})$ (20),

где $q$ — суммарный заряд электронов и протонов в объёме полюса источника; $l$ — расстояние по проводу от полюса до сечения $S$, в котором рассматривается поле $E$, направленное вдоль провода. В каждом сечении $S$ продольные волны электрического поля от полюса с избытком электронов складываются с продольными волнами от полюса с недостатком электронов. В результате в проводе перемещается положительный заряд от положительного полюса к отрицательному по направлению вектора ${\overrightarrow {E}}$, или возникает в этом направлении ток проводимости, хотя электроны каждого участка провода движутся в противоположном направлении, и заряд провода остается нулевым. Выражение (20) является следствием уравнений Максвелла. Из этого выражения следует правило Кирхгофа: сумма токов, притекающих в каждую точку электрической цепи, равна нулю. При разрыве провода, соединяющего полюса источника, ток в отрезках провода практически нулевой из-за малости тока смещения.

В уравнении (8), из которого следует продольная волна электрического поля (10), параметры $\varepsilon$ и $\mu$ влияют на скорость распространения продольной волны, параметр $\sigma$ определяет её направление распространения, а величина этого параметра выражает переходы энергии электрического поля в тепловую энергию среды, что не учитывается уравнениями Максвелла, и в энергию магнитного поля, создаваемого поперечной магнитной волной тока в соответствии с первым слагаемым выражения (15).

Переход энергии продольной волны электрического поля в тепло в проводе определяется его работой над единицей заряда: $u=El={\frac {l}{\sigma }}{\frac {\partial q}{\partial t}}=Ri$ (21), полученной из уравнения (20) при неизменности напряженности поля вдоль провода. Переход энергии продольной волны электрического поля в энергию магнитного поля в соответствии с уравнением Максвелла (1) определяется его работой над единицей заряда по изменению тока провода:

$\mu _{M}=L{\frac {\partial i}{\partial t}}$ (22), где параметр $L$ зависит не только от длины провода, но и скручиванием его в спираль, приводящем к концентрации магнитного поля внутри спирали. Ток проводимости в продольной волне электрического поля заменяет магнитное поле, связанное с проводом. При постоянном токе магнитное поле тока является магнитостатическим и работы электрического поля продольной волны для изменения магнитного поля не происходит.

Энергия продольной волны электрического по-ля может концентрироваться как энергия электрического поля разделенных зарядов. Это осуществляется между полюсами источника продольной волны, где разделение зарядов поддерживается сторонней силой. Разделение зарядов можно осуществить, исходя из выражения для продольной волны (10), включив в разрыв провода, соединяющего полюса источника, две параллельные близко расположенные проводящие пластины. Между пластинами $\sigma =0$ и, считая распределение заряда на пластинах равномерным, выражение (10) преобразуется:

$\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}E={\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial t}}q_{n}$; $\varepsilon _{0}\varepsilon E={\frac {1}{S}}q_{n}$; ${\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon S}{d}}{\frac {\partial u}{\partial t}}=C{\frac {\partial u}{\partial t}}=i$ (23),

где $q_{n}$ — заряд пластин; $E$ — поле между пластинами; $d$ — расстояние между пластинами; $S$ — величина поверхности пластин; $u$ — работа электрического поля над единицей заряда; $C$ — величина емкости образовавшегося конденсатора. Выражение (23) связывает заряд и поле конденсатора, в котором происходит преобразование тока проводимости проводов в ток смещения конденсатора так, чтобы эти токи были равными. При отсоединении проводов от конденсатора заряд на внутренних поверхностях пластин сохраняется, электрическое поле становится электростатическим. Электрическое поле зарядов на поверхности одной пластины является сторонним для зарядов на другой пластине.

Работа сторонних сил в источнике продольной волны в замкнутой электрической цепи ограниченной длины полностью тратится на работу электрического поля в её элементах:

$u_{cm}=E_{cm}l_{u}=R_{u}i+u_{np}+u+u_{M}$ (24),

где $l_{u}$ — расстояние между полюсами источника; $R_{u}$ — внутреннее сопротивление источника, учитывающее переход энергии продольной волны электрического поля в тепло в источнике и неизменность тока в различных сечениях электрической цепи. Выражение (24) носит название правила Кирхгофа о сумме напряжений. Если пренебречь переходом энергии продольной волны электрического поля в тепло, то из выражения (24) следует:

$u_{cm}={\frac {q}{C}}+L{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}$ (25),

где $q$ — заряд конденсатора, а при $u_{cm}=Usin\omega _{0}t$ (26), где $\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ (27)

решение уравнения (25): $q=-{\frac {UC}{2}}\omega _{0}tcos\omega _{0}t$ (28)

Это решение показывает, что колебание заряда автоматически синхронизируются с колебаниями сторон-ней силы на резонансной частоте, возрастая по мере её действия. Возрастание происходит до определен-ной величины, если учесть переход энергии продоль-ной волны в тепло. На частотах, отличных от $\omega _{0}$ возрастание колебаний за счет синхронизации сменяется их ослаблением при отсутствии синхронизации.

Улавливая антенной электромагнитные волны различных частот, колебательный контур выделяет нужную. Так посредством электромагнитных волн можно разделять передаваемую на большие расстояния информацию по частотным каналам. При использовании радиоимпульсов число колебаний поля в радиоимпульсе должно быть достаточно большим. В случае коротких видеоимпульсов продольные волны электрического поля позволяют их передавать на большие расстояния непосредственно по проводам. Но энергия продольной волны в этом случае теряется на излучение, так как вне проводов возникает электромагнитная волна, электрическое поле которой соответствует выражению (12), а магнитное поле — второму слагаемому в выражении (15).

Для того, чтобы электромагнитная волна вне проводов не возникала, необходимо, чтобы провода от разных полюсов источника были параллельными и близко расположенными друг к другу. Такая электрическая цепь носит название длинной линии. В длин-ной линии на каждом участке в близко расположенных проводах возникают противоположные по знаку заряды и противоположные по направлению токи, что позволяет характеризовать участок линии ёмкостью, индуктивностью и сопротивлением одно-временно. В длинной линии продольные волны электрического поля симметрично переходят с одного провода на другой в каждом отрезке $dx$:

$-{\frac {\partial i}{\partial x}}dx=g_{0}dxu+C_{0}dxd{\frac {\partial u}{\partial t}}$ (29)

$-{\frac {\partial u}{\partial t}}dx=r_{0}dxi+L_{0}dx{\frac {\partial i}{\partial t}}$ (30)

Изменение $i$ на отрезке $dx$ определяется током проводимости $g_{0}dxu$ и током смещения $C_{0}dxd{\frac {\partial u}{\partial t}}$ между проводами. Изменение $u$ на отрезке $dx$ определяется потерями энергии на тепло $r_{0}dxi$ и изменением энергии магнитного поля $L_{0}dx{\frac {\partial i}{\partial t}}$. Любая электрическая цепь концентрирует электрические и магнитные поля, а в случае длинной линии эти поля концентрируются между проводами. Принципиальная разница между уравнениями (29) и (30) в том, что напряжения в правой части уравнения (30) создаются продольной волной электрического поля в проводах, а в правой части уравнения (29) — электрическим полем зарядов на проводах. Для однородной линии параметры на единицу длины $g_{0}$, $C_{0}$, $r_{0}$, $L_{0}$ не зависит от $x$ и $t$. В этом случае уравнения (29) и (30) преобразуются в уравнения:

$-{\frac {\partial i}{\partial t}}=g_{0}u+C_{0}d{\frac {\partial u}{\partial t}}$ (31)

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=r_{0}i+L_{0}{\frac {\partial i}{\partial t}}$ (32), называемых телеграфными уравнениями.

В статических электрических и магнитных полях длинной линии её напряжения и токи не меняются во времени и связаны уравнениями^

$-{\frac {\partial i}{\partial x}}=g_{0}u$; $-{\frac {\partial u}{\partial x}}=r_{0}i$ (33)

В общем случае энергия на единицу заряда $e$ , полученная от источника, в однородной линии связана с напряжением: $u={\frac {\partial e}{\partial x}}$ (34).

Эта энергия поддерживается работой сторонних сил в источнике. После подстановки выражения (34) в уравнение (31):

$u={\frac {\partial }{\partial x}}(i+C_{0}d{\frac {\partial e}{\partial t}}+g_{0}e)=0$ (35)

Выражение в круглых скобках, независящее от $x$, определяет продольную волну электрического поля в однородной длинной линии. Из этого выражения, выражения (34) и уравнения (32): $i=-C_{0}{\frac {\partial e}{\partial t}}-g_{0}e$ (36)

${\frac {\partial ^{2}e}{\partial x^{2}}}-L_{0}C_{0}{\frac {\partial ^{2}e}{\partial t^{2}}}-(L_{0}g_{0}+r_{0}C_{0}){\frac {\partial e}{\partial t}}-r_{0}g_{0}e=0$ (37)

При определенных соотношениях параметров однородной линии и переходе энергии поля в тепло по экспоненциальному закону энергия на единицу заряда содержит сигнальный сомножитель $e_{c}$, форма которого не меняется при распространении от источника по линии: $e=e^{-\alpha t}e_{c}$ (38), где коэффициент затухания $\alpha ={\frac {L_{0}g_{0}+r_{0}C_{0}}{2L_{0}C_{0}}}$ (39). При подстановке (38) и (39) в (37):

${\frac {\partial ^{2}e}{\partial x^{2}}}-L_{0}C_{0}{\frac {\partial ^{2}e}{\partial t^{2}}}+{\frac {(L_{0}g_{0}+r_{0}C_{0})^{2}}{4L_{0}C_{0}}}e_{C}=0$ (40).

Для того, чтобы форма $e_{C}$ не менялась, необходимо $L_{0}g_{0}=r_{0}C_{0}$ (41).

Однородная двухпроводная линия при выполнении условия (41) является неискажающей. Однородное волновое уравнение для сигнального сомножителя:

${\frac {\partial ^{2}e}{\partial x^{2}}}-L_{0}C_{0}{\frac {\partial ^{2}e}{\partial t^{2}}}=0$ (42).

Скорость распространения сигнала:

$\nu ={\frac {1}{\sqrt {L_{0}C_{0}}}}$ (43).

В замкнутой однородной двухпроводной линии возможна синхронная поддержка повторяющихся импульсов, а не синусоидального заполнения. Эти импульсы в виде электромагнитной волны проникают через стены зданий с меньшими потерями, чем синусоидальные волны, сохраняя при этом тот же способ излучения. Провода от полюсов источника с быстро меняющейся сторонней силой удаляют друг от друга, чтобы устранить взаимную компенсацию электрических и магнитных полей вне проводов. При удалении проводов друг от друга на $180^{0}$ электромагнитные волны складываются друг с другом синфазно в направлении перпендикулярном проводам. Так образуется антенна, называемая электрическим вибратором. Можно не удалять провода друг от друга, а замыкать друг на друга, концентрируя магнитное поле. Так образуется магнитный вибратор.

Существование продольных волн электрического поля в веществе позволяет объяснить механику недеформируемых тел, так как образование про-дольной волны электрического поля в веществе про-исходит при внешнем изменении расстояния между электронами и протонами атома. Например, при давлении одного недеформируемого тела на другое электроны атомов в соприкасающихся слоях смеща-ются ближе к ядрам. Возникшие продольные волны электрического поля передают внешнее усилие на все атомы тел.

Таким образом, вводимые аксиоматически, закономерности электродинамики, механики объясняются возникновением продольных волн электрического поля. Из-за конечности величины скорости их распространения объясняются и изменения этих закономерностей в релятивистском случае.

Литература

1. Самсонов А. В. Продольные и поперечные волны электрического поля./ Радиотехника и электроника, 2011, том 56, № 11. C. 1343—1347.

2. Пермяков В. А. Анализ существования про-дольных электрических волн в изотропной однородной среде./ Известия ВУЗов. Физика, 2012, том 55, № 8/3. С. 44-47.

3. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1977. Вып. 3,4. С. 496.

4. Хармут Х. Ф. Несинусоидальные волны в радиолокации и радиосвязи: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1985. С. 376.