Дипольная мода геомагнитного поля

В статье на базе модели идеального газа выполнены оценочные расчёты дипольной моды магнитного поля Земли на основе скорости её углового вращения, параметров плотности, температуры, химического состава, энергии ионизации, диэлектрической проницаемости и процентного содержания основных химических соединений вещества мантии. Показана ошибочность положения о „невозможности разделения электрических зарядов в недрах Земли” [1, Т2, c.82].

Ключевые слова: идеальный газ, магнитное поле Земли, дипольная мода (см.Ряд Гаусса), физические параметры Земли.

Физики давно исследовали явления, необходимые для объяснения процесса генерации магнитного поля планет, но до настоящего времени нет математической модели магнитного поля Земли, позволяющей получить близкие к реальным значениям результаты. Данная статья является попыткой устранить этот недостаток.

Основные физические характеристики Земли

Магнитное поле Земли

В первом приближении земной магнит представляется диполем, наклоненным к оси вращения под углом 11° и имеющим на магнитном экваторе напряженность 0,3·Гс. К настоящему времени измерены амплитуды более десятка следующих за диполем гармоник, которые уменьшаются по степенному закону с изломом на восьмой гармонике. На дипольную моду приходится около 90% напряженности. Остаточное поле (полное минус диполь) имеет вид конечного числа аномалий, занимающих области с размерами от сотен до двух тысяч километров.

Наблюдаются хаотические флуктуации направления дипольного момента с характерными временами 10³-10⁴ лет. При усреднении по этим флуктуациям средний земной диполь будет ориентирован вдоль оси вращения. Следовательно, вращение оказывает сильное влияние на эволюцию магнитного поля. За характерное время порядка 10⁵ лет происходят обращения (инверсии) направления магнитного диполя. Процесс случайный [8, c.266-267].

Моды выше дипольной рождаются из турбулентных флуктуаций течений электропроводящей жидкости во внешнем ядре Земли. Математическое моделирование показывает, что если их рассматривать как белый шум, действующий на дипольную моду, то возникают состояния модели, объясняющие инверсию магнитного поля Земли [9].

Физические параметры Земли

На рис.1.1 представлена упрощенная схема строения Земли, где указаны названия областей и расстояния от поверхности до границ характерных состояний вещества [1,Т2,c.79].

Внутреннее и Внешнее ядро		Нижняя и Верхняя мантия		Кора
6371-5120 км	5120-2885 км	2885-1000 км	1000-40 км	40-0 км

Рис.1.1.Схема строения Земли.

Распределение по глубинам давления и плотности по модели «Земля-2» В. Н. Жаркова, В. П. Трубицына и П. В. Самсоненко (а также температуры по ориентировочным данным) приведено в табл.1.1, [3, c.26-27]. Выполнена интерполяция параболическими сплайнами табличных данных температуры и плотности вещества в недрах Земли. Диапазон значений плотности (5.56-10.08)г/см³ на глубине 2920км заменён средним значением 7.82г/см³. Параметр глубины пересчитан на расстояние от центра. Параметр плотности нормирован к массе Земли. Все параметры приведены к международной системе измерений СИ.

Полученные зависимости абсолютной температуры T_z(r) и плотности ρ_n(r) вещества в недрах Земли приведены на рис.1.2. Вертикальными маркерами отмечены радиус внутреннего ядра R_j = 1.25·10⁶м и внутренний радиус мантии R_mu = 3.451·10⁶м. Наибольшее значение радиуса соответствует верхней границе мантии R_mo = 6.341·10⁶м.

В табл.1.2 приведено содержание окислов основных элементов мантии Земли в массовых процентах (по А.Э. Рингвуду) [4, с.12], их молекулярный вес, количество атомов в молекуле, плотность, относительная диэлектрическая проницаемость [5], энергия ионизации молекул [6] и [7]. Вещества, процентное содержание которых меньше 1%, из расчета исключены.

Табл.1.1.Давление, плотность и температура в недрах Земли. Глубина, км Давление, мегабары Плотность, г/см3 Температура, °C 30 0.0084 3.32 700 100 0.031 3.38 1500 200 0.065 3.46 1950 413 0.130 3.64 2400 1047 0.399 4.58 2800 2060 0.889 5.12 3600 2920 1.386 5.56 -10.08 4300 3955 2.445 11.46 5250 4991 3.239 12.28 6050 6371 3.657 12.68 6300

Табл.1.2.Физические параметры окислов основных элементов мантии. Окисел SiO2 MgO FeO Al2O3 CaO Массовая доля в% [4, с.12] 45.1 38.1 7.6 4.6 3.1 Молекулярный вес, в атомных единицах массы [5, T.2] 60.8 [c.104] 40.31 [c.114] 71.84 [c.60] 101.96 [c.20] 56.08 [c.92] Количество атомов 3 2 2 5 2 Плотность, г/см3 [5, T.2] 2.3 [c.104] 3.58 [c.114] 5.7 [c.60] 3.97 [c.20] 3.37 [c.92] Диэлектрическая проницаемость [5, T.1, c.960] 3.9 9.65 100 8.8 - Потенциал ионизации, ЭВ 11.7 [6] 8.5 [6] - 9.9 [7] 6.5 [6]

Ионизация мантии Земли

Так как вероятность ионизации находится в экспоненциальной зависимости от энергии, плотность ионов в однородной смеси, в предположении, что ионизируется один электрон в молекуле, характеризуется в первом приближении плотностью вещества с наименьшим значением энергии ионизации:

$\delta _{i}(r)=2m_{i}(r){\sqrt {w_{i}/\pi \cdot k_{b}\cdot T_{z}(r)}}\cdot e^{-w_{i}/k_{b}\cdot T_{z}(r)}$

где: m_i(r) - плотность молекул i -го окисла в смеси, w_i - первый потенциал (энергия) ионизации молекулы, k_b - постоянная Больцмана, T_z(r) -температура в недрах Земли.

Ниже приведен расчет ионизации в характерных точках для однородной смеси, в которой CaO обладает наименьшей энергией ионизации, а FeO - наибольшей относительной диэлектрической проницаемостью, на порядок превышающую диэлектрическую проницаемость других окислов. Зависимость плотности ионов δ_i(r) в мантии Земли представлена на рис.1.3. Вертикальным маркером отмечена условная граница ионизации R_i = 6.1·10⁶м.

Значения плотности ионов в характерных точках составили: нижняя граница мантии - δ_i(R_mu) = 8.4·10²⁰ м^-3, условная граница ионизации - δ_i(R_i) = 7.1·10¹³ м^-3, верхняя граница мантии - δ_i(R_mo) = 2.4·10^-6 м^-3.

Как видно из рисунка, нижняя часть мантии сильно ионизирована. Плотность ионов падает по экспоненте и в области условной границы ионизации R_i достигает критического значения. Степень ионизации (количество ионов, приходящееся на один атом) в характерных точках составляет: δ_i(R_mu) / Σ m_i = 1.5·10^-8 и δ_i(R_i) / Σ m_i = 2.9·10^-15, где: Σ m_i - молекулярная плотность смеси (количество молекул в единице объёма), R_mu - нижняя граница мантии, R_i - граница ионизации.

Так как на один ион в среднем приходится не менее 10⁷ нейтральных молекул, положительно заряженные ионы полностью зависимы. Это замечание справедливо и для ионизированных электронов, парциальным давлением которых в сравнении с парциальным давлением атомов в модели идеального газа можно пренебречь. Таким образом, наряду с другими фазовыми состояниями часть вещества находится в состоянии низкотемпературной электронно-ионной плазмы, ионы которой „вморожены“ в основное вещество, а электроны находятся в состоянии свободных частиц.

Поляризация зарядов в мантии Земли

Предположим, что под действием радиальной составляющей градиентов температуры и плотности часть ионизированных электронов смещается в направлении поверхности Земли (поляризуется), и соответствующая часть плазмы переходит в новое равновесное состояние, описываемое уравнением равновесия сил, действующих на элементарный объём электронного газа в электрическом поле:

$~E_{i}(r)\Delta q_{ie}(r)+S_{n}(r)\Delta p(r)=0$

(1)

где: E_i(r) - напряженность электростатического поля поляризованных ионов, Δq_ie(r) - распределённый в элементарном объёме заряд поляризованных электронов, S_n(r) - перпендикулярная радиусу площадь элементарного объёма, Δp(r) - разность (дифференциал) давлений на противоположных поверхностях элементарного объёма в радиальном направлении.

Интегрируя (1), получим распределение положительных поляризованных ионов в недрах Земли, которое при отрицательных значениях функции градиентов имеет реальное значение и характеризует смещение электронов от центра к периферии, а при мнимом - их смещение к центру.

$~q_{i}(r_{o},r)={\sqrt {-2\varepsilon _{o}\int _{r_{o}}^{r}\varepsilon (r)S_{n}(r)^{2}p(r)\psi (r)\Delta r}}$

(2)

где: ε_o - электрическая постоянная; ε(r) - относительная диэлектрическая проницаемость среды; S_n(r) = 4·π·r² - площадь сферической поверхности; p(r) = n(r)k_bT_z(r) - давление идеального газа, где:n(r) = Σ na_i(r) - плотность атомов, составляющих вещество мантии; na_i(r) = N_i·m_i(r) - плотность атомов i -го окисла, N_i - число атомов в молекуле окисла, m_i(r) - плотность молекул окисла , k_b - постоянная Больцмана, T_z(r) - температура в недрах Земли; ψ(r) = (∇_rn(r) / n(r) + ∇_rT_z(r) / T_z(r)) - функция, равная сумме относительных значений градиентов плотности атомов и температуры в недрах Земли (функция градиентов), r_o - условная граница между проводником и диэлектриком (ниже границы r_o значение заряда равно нулю).

Уравнение (1) теряет физический смысл для проводников и за пределами границы ионизации R_i, поэтому интегрирование в (2) необходимо выполнять с условной границы r_o между проводником и диэлектриком (полупроводником).

Распределение поляризованных электронов за границей ионизации

Плотность поляризованных электронов в пространстве подчиняется закону распределения Больцмана [10, с.224].

$n_{e}(r)=n_{o}\cdot e^{-W(r)/k_{b}\cdot T_{z}(r)}$

где: n_о - плотность поляризованных электронов в точке нулевого потенциала (принята граница ионизации R_i) W(r) - потенциальная энергия электрона в электростатическом поле, создаваемом поляризованными зарядами (зависит как от заряда поляризованных ионов, так и взаимного расположения поляризованных электронов), k_b - постоянная Больцмана, T_z(r) -температура в недрах Земли.

Выражение для элементарной силы, действующей за пределами границы ионизации на заряд поляризованных электронов, находящихся в элементарном объёме:

$~\Delta F(r)=E(r)\Delta q$

где: E(r) = q(R_i + r) / ε_o·ε(r)·S_n(r)– напряженность электростатического поля, Δq = q_e·n_e(r)·ΔV – элементарный заряд поляризованных электронов; ΔV = (dV(r)/dr)·Δr – элементарный объём; dV(r)/dr = S_n(r) - производная от объёма по радиусу, равная площади сферической поверхности.

Интеграл сил притяжения, направленных к центру и действующих на поляризованные электроны за пределами границы ионизации:

$F_{g}={\frac {q_{i}(r_{o},R_{i})^{2}}{2\varepsilon _{o}\varepsilon (R_{i})S_{n}(R_{i})}}=-1.7\cdot 10^{24}H$

(4)

где: ε = Σε_i·mk_i / Σ mk_i = 12.5 - относительная диэлектрическая проницаемость смеси; где: mk_i = k_i / M_i - доля молекул i -го окисла, k_i = pr_i / Σpr_i - коэффициент содержания окисла в смеси, pr_i - массовая доля окисла в процентах, ε_i - относительная диэлектрическая проницаемость i -го окисла, M_i - молярная масса молекулы i -го окисла (табл.1.2).

Интеграл сил градиентного давления, направленных от центра и действующих на ионизированные электроны, распределённые в мантии Земли:

$F_{m}=-\int _{r_{o}}^{R_{i}}S_{n}(r)p(r)\psi (r)dr=2.8\cdot 10^{24}H$

(5)

Это значение на 38% превышает интеграл сил притяжения и подтверждает возможность удержания зарядов в поляризованном состоянии.

Сравнение полученного результата с данными измерений

Магнитное поле Земли (его дипольная мода) на 1995г. составляла M₁₉₉₅ = –7.812·10²²A·м². Знак минус указывает на то, что магнитный момент Земли направлен в сторону, противоположную её механическому моменту, a северный магнитный полюс совпадает с южным географическим полюсом Земли.

Выражение для элементарного дипольного момента:

$\Delta M_{d}=S_{d}\cdot \Delta I$

где: S_d = π·(r·cos(θ))² - площадь, ограниченная контуром тока; ΔI = ν·q_e·δ_i(r)·ΔV - элементарный контур тока, ν - частота углового вращения Земли, q_e - заряд электрона, δ_i(r) - плотность поляризованных зарядов в мантии; ΔV = 2πr·cos(θ)·r·Δθ·Δr - элементарный объем, θ - широта, r - радиус удаления от центра Земли.

Так как данная модель рассматривает только поляризацию зарядов, то суммарный заряд за пределами границы ионизации равен нулю. После интегрирования и ряда преобразований выражение для магнитного момента, создаваемого вращением поляризованного шара (назовём его ротационным магнитным моментом, чтобы отличать от дипольной моды магнитного поля Земли, наклонённой к оси её вращения под углом 11°) имеет вид:

$M_{d}=-{\frac {4\pi \nu }{3}}\int _{r_{o}}^{R_{i}}r\cdot q_{s}(r_{o},r)dr$

(6)

Так как поляризация зарядов в жидкой среде невозможна, нижняя граница интегрирования r_o соответствует нижней границе мантии R_mu , ниже которой расположено жидкое ядро. Верхняя граница интегрирования соответствует границе ионизации R_i. Значение ротационного магнитного момента в первой модели (однородной смеси) составило: M_1d = –1.7·10²³ A·м² = 2.1·M₁₉₉₅

Полученное отрицательное значение свидетельствует о том, что магнитный момент направлен в сторону, противоположную моменту вращения Земли, или от центра к её южному полюсу.

Структурный вариант распределения окислов в мантии

В связи с малым процентным содержанием CaO в мантии наиболее вероятно, что он представлен соединением CaOMgO+2(SiO₂) - диопсид (diopside), а граница между MgO и Al₂O₃ вероятнее всего состоит из MgO(Al₂O₃) - шпинели (spinel). Массовые доли SiO₂ и MgO в диопсиде, исходя из пропорций к массовой доле CaO (табл.1.2), составляют m_SiO2 = 6.9% и m_MgO = 2.3% в массовой доле мантии.

Границы распределения окислов в мантии

В рассматриваемом варианте окислы полностью разделены и упорядочены в мантии по возрастанию их плотности. Обозначив:

$Mo(r)=4\pi \int _{r}^{R_{mo}}r^{2}\cdot \rho _{n}(r)dr$

и

$~rf(r)=Mo(r)/Mo(R_{mu})$

где: R_mo - верхняя граница мантии, R_mu - нижняя граница мантии, ρ_n(r) - плотность вещества мантии.

Запишем уравнение, позволяющее определить радиусы условных границ распределения окислов в мантии Земли:

$~rf(r)=pr_{s}/\sum _{i}pr_{i}$

где: pr_s - массовая доля верхней части мантии в %, pr_i - массовая доля i - го окисла в % согласно табл.1.2.

Зная границы, можно получить центры распределения основных веществ в мантии и плотности атомов в этих точках, расчётные значения которых приведены в табл.2.1. На основе данных табл.2.1. выполнена интерполяция параболическими сплайнами плотности атомов n_a(r) в области мантии Земли, а также линейная интерполяция диэлектрической проницаемости вещества ε_a(r) на основе данных табл.1.2. Результаты интерполяций приведены на рис.2.1. Вертикальным маркером отмечено новое значение границы ионизации, полученное в п.2.3.2. ниже.

Табл.2.1. Распределение окислов основных элементов в мантии Земли. Вещество Al2O3 MgO+(Al2O3) MgO CaOMgO +2(SiO2) SiO2 Нижняя граница, м 3.7·106 - 3.9·106 5.05·106 5.4·106 Центр распределения (Xp), м - 3.9·106 4.5·106 5.2·106 5.9·106 Плотность ато­мов (Na), м-3 - 1.8·1029 1.5·1029 1.3·1029 1.1·1029

Рис.2.1. Плотность атомов na(r) и диэлектрическая проницаемость εa(r) мантии.

Подстановка n_a(r) и ε_a(r) в (2) даёт значения заряда и магнитного момента (6) с учетом изменения плотности атомов и диэлектрической проницаемости в мантии Земли.

Границы интегрирования второй модели

Ниже некоторого значения плотности ионизированных электронов уравнение (1) теряет физический смысл. Каждый атом элементарного объёма должен испытать в среднем за секунду не менее одного соударения с распределёнными в элементарном объёме электронами:

$N_{ue}=u_{s}{\sqrt[{3}]{n}}\cdot kp_{a/e}>1/s$

где: $u_{s}={\sqrt {8k_{b}T/\pi m_{e}}}$- средняя арифметическая скорость движения ионизированного электрона [10, с.207], k_b - постоянная Больцмана, m_e - масса электрона, n - плотность атомов вещества, Т - температура среды; kp_e/a = δ_i/n - отношение плотности ионизированных электронов к плотности атомов. Это выражение является физическим условием применения уравнения (1).

Для уточнения границы ионизации заметим, что вблизи с полученным в первой модели (однородной смеси) её значением R_i = 6.1·10⁶м находится нижняя граница двуокиси кремния g_SiO2 = 5.4·10⁶м.

Подставив значение границы g_SiO2, получаем: для CaOMgO+2(SiO2) - N_ue(g_SiO2) = 1.9·10⁴·сек^-1, для SiO₂ - N_ue(g_SiO2) = 2.3·10^-4·сек^-1 (отношение величин составляет 10⁸). Из сравнения полученных значений видно, что нижняя граница двуокиси кремния соответствует условию границы ионизации для второй модели (R_2i = g_SiO2).

Как и в первой модели, нижняя граница интегрирования соответствует нижней границе мантии r_o = R_mu, ниже которой расположено жидкое ядро.

Обсуждение результата

Значение ротационного магнитного момента (6) второй модели составило M_2d = –7.814·10²² A·м², то есть совпало до третьего знака со значением M₁₉₉₅ = –7.812·10²² A·м². Относительная разница интеграла сил градиентного давления на распределённые в мантии Земли ионизированные электроны (5) и интеграла сил притяжения поляризованных электронов на границе ионизации (4) составила (Fm + Fg)/Fm = 0.01%, что на порядок выше точности вычислений и характеризует состояние как равновесное. Значение интегралов сил: Fm = –Fg = 2.1·10²⁴ Н.

На рис.2.2 приведены зависимости функций градиентов (индексный номер соответствует номеру варианта), с указанием вертикальными маркерами верхней границы интегрирования первого- R_1i и второго- R_2i вариантов.

На рис.2.3 представлено суммарное распределение заряда в мантии Земли для обоих вариантов. Максимальное значение заряда для первого (q_1m = 4.3·10¹⁴ Кулон) и второго (q_2m = 2.6·10¹⁴ Кулон) вариантов достигается на границе ионизации. Расчёт предполагает нулевой суммарный заряд Земли.

Для среднего значения тока I_s = 2.1·10⁹A, создаваемого средним значением заряда q_s = 1.8·10¹⁴ Кулон рассчитаны условные радиусы протекания токов положительных (R_pi = 4.0·10⁶м) и отрицательных (R_e = 5.3·10⁶ м) зарядов в мантии Земли, соответствующие второму варианту (отмечены вертикальными маркерами).

Схематично ротационный магнитный диполь можно представить в виде суммы магнитных диполей двух токовых колец (I_s), протекающих в разных направлениях в плоскости экватора на расстоянии от центра R_pi против и R_e по часовой стрелке, если наблюдать со стороны северного полюса. Результирующий магнитный момент диполя имеет значение π·(R_рi² – R_е²)·I_s = –7.8·10²² A·м² и направление в сторону южного географического полюса Земли.

Предложенная модель даёт хорошее описание дипольной моды магнитного поля Земли. Выполненные для двух вариантов расчеты убедительно показывают возможность поляризации зарядов в её недрах. Оба варианта являются виртуальными и описывают крайние возможные состояния вещества мантии.

Выводы

1) Тепловая ионизация, градиенты плотности и температуры, угловое вращение - основные физические факторы формирования дипольной моды магнитного поля Земли.

2) Магнитный момент Земли формируется за пределами ядра в мантии и, следовательно, жидкая часть ядра пронизана силовыми линиями магнитного поля. Плотность ионов в жидком ядре не менее δ_i(R_j)=10²³м^-3. Конвективные потоки проводящего вещества, возникающие в жидком ядре, могут вызывать локальные изменения магнитного поля у поверхности Земли, рассматриваемые как "белый шум" они могут быть источником инверсии магнитного поля Земли [9], а их асимметрия может быть причиной смещения оси магнитного момента. Другими словами, моды выше дипольной возникают в результате рассеяния части энергии ротационного магнитного поля турбулентными потоками ионизированной жидкости, а вектор смещения магнитной оси обусловлен асимметрией этих потоков относительно оси вращения Земли.

3) Предложенная модель не отвергает теорию геомагнитного динамо, а дополняет её, по мнению автора, недостающей стационарной компонентой. „Гидромагнитное динамо не является обособленным механизмом генерации магнитного поля и не претендует на полную универсальность” [8, c.265].

--OlegStyazhkin 09:00, 30 ноября 2009 (UTC)

Литература

[1] Физическая Энциклопедия / гл. редактор А. М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия. 1990, в 5-ти томах.

[2] Mohr, Peter J. The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty, from CODATA Recommended Values of the Fundamental Constants - 2006. / By Peter J. Mohr, Barry N. Taylor and David B. Newell // National Institute of Standards and Technology.

[3] Монин, А. С. История Земли / А.С.Монин. M.: Наука, 1980 - 224с.

[4] Жарков, В. Н. ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЛАНЕТ И СПУТНИКОВ / В. Н. Жарков, // ВЕСТНИК Отделения наук о Земле РАН, № 1(21), 2003г.: Электронный научно-информационный журнал .

[5] Справочник химика / гл. редактор Б. П. Никольский. Издание второе, М.-Л.: Химия 1966(Т.1), 1964(Т.2).

[6] Иориш, В. С. Термические Константы Веществ. / В. С. Иориш и В. С. Юнгман // Институт теплофизики экстремальных состояний РАН Объединенного института высоких температур РАН, Химический факультет Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.: Электронная база данных, рабочая версия - 2.

[7] Sharon, G. L./ G. L. Sharon, I. E. Bartmess, J. F. Liebman, J. L. Holmes, R. D. Levin, and W. G. Hallard, //J.Phys. Chem. Ref. Data 17, Suppl. 1 (1988).

[8] Зельдович, Я. Б. Гидромагнитное динамо, как источник планетарного, солнечного и галактического магнетизма: / Я. Б. Зельдович, А. А. Рузмайкии //УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК. Том 152, вып.6, Июнь 1987, с.263-284.

[9] Pétrélis, F. Simple Mechanism for Reversals of Earth's Magnetic Field / F. Pétrélis, S. Fauve, E. Dormy and J-P. Valet // Physical Review Letters. 102, 144503 (2009).

[10] Яворский, Б.М. Справочник по физике / Б.М.Яворский и А.А.Детлаф. М.: Наука, 1968, 940с.