Дисперсия диэлектрической проницаемости

Дисперсия диэлектрической проницаемости рассматривается в ряде фундаментальных работ по электродинамике , но наиболее подробно этот вопрос рассмотрен в работе . На примере этой работы рассмотрим вопрос о том, каким образом решаются подобные задачи, когда для их решения вводится понятие вектора поляризации. Параграф 59 этой работы, где рассматривается этот вопрос, начинается словами: «Мы переходим теперь к изучению важнейшего вопроса о быстропеременных электрических полях, частоты которых не ограничены условием малости по сравнению с частотами, характерными для установления электрической и магнитной поляризации вещества» (конец цитаты). Эти слова означают, что рассматривается та область частот, где в связи с наличием инерционных свойств носителей зарядов поляризация вещества не будет достигать её статических значений. При дальнейшем рассмотрении вопроса делается заключение, что «в любом переменном поле, в том числе при наличии дисперсии вектор поляризации ${\bf {P}}={\bf {D}}-{\varepsilon _{0}}{\bf {E}}$ (здесь и далее все цитируемые формулы записываются в системе СИ) сохраняет свой физический смысл электрического момента единицы объёма вещества» (конец цитаты). Приведём ещё одну цитату: «Оказывается возможным установить справедливый для любых тел (безразлично – металлов или диэлектриков) предельный вид функции $\varepsilon (\omega )$ при больших частотах. Именно частота поля должна быть велика по сравнению с «частотами» движения всех (или, по крайней мере, большинства) электронов в атомах данного вещества. При соблюдении этого условия можно при вычислении поляризации вещества рассматривать электроны как свободные, пренебрегая их взаимодействием друг с другом и с ядрами атомов» (конец цитаты). Далее записывается уравнение движения свободного электрона в переменном электрическом поле

$m{\frac {d{\bf {v}}}{dt}}=e{\bf {E}}$,

откуда находится его смещение

$m{\frac {d{\bf {v}}}{dt}}=e{\bf {E}}$

Затем говорится, что поляризация ${\bf {P}}$ есть дипольный момент единицы объёма и полученное смещение вставляется в поляризацию

${\bf {P}}=ne{\bf {r}}=-{\frac {n{e^{2}}{\bf {E}}}{m{\omega ^{2}}}}$ .

В данном же случае рассматривается газ свободных электронов, в котором отсутствуют заряды противоположных знаков. Далее следует стандартная процедура, когда введённый таким способом вектор поляризации вводится в диэлектрическую проницаемость

${\bf {D}}={\varepsilon _{0}}{\bf {E}}+{\bf {P}}={\varepsilon _{0}}{\bf {E}}-{\frac {n{e^{2}}{\bf {E}}}{m{\omega ^{2}}}}={\varepsilon _{0}}\left({1-{\frac {1}{{\varepsilon _{0}}{L_{k}}{\omega ^{2}}}}}\right){\bf {E}}$,

а поскольку плазменная частота определяется соотношением

${\omega _{p}}^{2}={\frac {1}{{\varepsilon _{0}}{L_{k}}}}$,

сразу записывается вектор индукции

${\bf {D}}={\varepsilon _{0}}\left({1-{\frac {{\omega _{p}}^{2}}{\omega ^{2}}}}\right){\bf {E}}$.

При таком подходе коэффициент пропорциональности

$\varepsilon (\omega )={\varepsilon _{0}}\left({1-{\frac {{\omega _{p}}^{2}}{\omega ^{2}}}}\right)$,

считается диэлектрической проницаемостью, зависящей от частоты. Далее в §61 рассматривается вопрос об энергии электрического и магнитного поля в диспергирующих средах. При этом делается вывод о том, что для энергии таких полей

$W={\frac {1}{2}}\left({\varepsilon {E_{0}}^{2}+\mu {H_{0}}^{2}}\right)$, (1)

имеющей точный термодинамический смысл в обычных средах, при наличии дисперсии так истолкована быть не может. Эти слова означают, что знания реальных электрических и магнитных полей в диспергирующей среде недостаточно для определения разности внутренней энергии в единице объёма вещества при наличии полей в их отсутствии. После этого приводится формула, дающая результат для вычисления удельной энергии электрических и магнитных полей при наличии дисперсии

$W={\frac {1}{2}}{\frac {d\left({\omega \varepsilon (\omega )}\right)}{d\omega }}E_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left({\omega \mu (\omega )}\right)}{d\omega }}H_{0}^{2}$. (2)

Поэтому вывод о невозможности толкования формулы (1), как внутренней энергии электрических и магнитных полей в диспергирующих средах является правильным. Однако это обстоятельство заключается не в том, что такая интерпретация в рассмотренных средах является вообще невозможной. Она заключается в том, что для определения величины удельной энергии как термодинамического параметра в данном случае необходимо правильно вычислить эту энергию, и ниже будет показано, что для этого следует учесть не только электрическое поле, которое накапливает потенциальную энергию, но и ток электронов проводимости, которые, в связи с наличием массы, накапливают кинетическую энергию движения зарядов. Это покажем на примере диэлектрической проницаемости плазмоподобных сред. Бездиссипативными плазмоподобными средами считаются среды, в которых заряды могут двигаться без потерь . К таким средам в первом приближении могут быть отнесены сверхпроводники, свободные электроны или ионы в вакууме (в дальнейшем проводники). Для электронов в указанных средах в отсутствии магнитного поля уравнение движения имеет вид:

$m{\frac {d{\bf {v}}}{dt}}=e{\bf {E}}$, (3)

где $m$ и $e$ – масса и заряд электрона, ${\bf {E}}$ – напряженность электрического поля, ${\bf {v}}$ – скорость движения заряда. Используя выражение для плотности тока

${\bf {j}}=ne{\bf {v}}$, (4)

из (3) получаем плотность тока проводимости

${{\bf {j}}_{L}}={\frac {n{e^{2}}}{m}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}$. (5)

В соотношении (4) и (5) величина $n$ представляет плотность электронов. Введя обозначение

${L_{k}}={\frac {m}{n{e^{2}}}}$, (6)

находим

${{\bf {j}}_{L}}={\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}$. (7)

В данном случае величина ${L_{k}}$ представляет удельную кинетическую индуктивность носителей заряда . Её существование связано с тем, что заряд, имея массу, обладает инерционными свойствами. Для случая гармонических полей ${\bf {E}}={{\bf {E}}_{0}}\sin \omega t$ соотношение (7) запишется:

${{\bf {j}}_{L}}=-{\frac {1}{\omega {L_{k}}}}{{\bf {E}}_{0}}\cos \omega t$. (8)

Здесь и далее для математического описания электродинамических процессов будут в большинстве случаев, вместо комплексных величин, использоваться тригонометрические функции с тем, чтобы были хорошо видны фазовые соотношения между векторами, представляющими электрические поля и плотности токов. Из соотношения (7) и (8) видно, что ${{\bf {j}}_{L}}$ представляет индуктивный ток, т.к. его фаза запаздывает по отношению к напряжённости электрического поля на угол ${\frac {\pi }{2}}$ . Если заряды находятся в вакууме, то при нахождении суммарного тока нужно учитывать и ток смещения

${{\bf {j}}_{\varepsilon }}={\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}={\varepsilon _{0}}{{\bf {E}}_{0}}\cos \omega t$ .

Видно, что этот ток носит ёмкостной характер, т.к. его фаза на ${\frac {\pi }{2}}$ опережает фазу напряжённости электрического поля. Таким образом, суммарная плотность тока составит

${{\bf {j}}_{\sum }}={\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}$ ,

или

${{\bf {j}}_{\Sigma }}={\left({\omega {\varepsilon _{0}}-{\frac {1}{\omega {L_{k}}}}}\right)_{}}{{\bf {E}}_{0}}\cos \omega t$ . (9)

Если электроны находятся в материальной среде, то следует ещё учитывать и наличие положительно заряженных ионов. Однако при рассмотрении свойств таких сред в быстропеременных полях, в связи с тем, что масса ионов значительно больше массы электронов, их наличие не учитывается. В соотношении (9) величина, стоящая в скобках, представляет суммарную реактивную проводимость данной среды ${\sigma _{\Sigma }}$ и состоит, в свою очередь, из емкостной ${\sigma _{C}}$ и индуктивной ${\sigma _{L}}$ проводимости

${\sigma _{\Sigma }}={\sigma _{C}}+{\sigma _{L}}=\omega {\varepsilon _{0}}-{\frac {1}{\omega {L_{k}}}}$.

Соотношение (9) можно переписать и по-другому:

${{\bf {j}}_{\Sigma }}=\omega {\varepsilon _{0}}{\left({1-{\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}\right)_{}}{{\bf {E}}_{0}}\cos \omega t$ ,

где ${\omega _{0}}={\sqrt {\frac {1}{{L_{k}}{\varepsilon _{0}}}}}$ - плазменная частота. Величина

$\varepsilon *(\omega )={\varepsilon _{0}}\left({1-{\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}\right)={\varepsilon _{0}}-{\frac {1}{{\omega ^{2}}{L_{k}}}}$,

и есть, как указывает Ландау, зависящая от частоты диэлектрической проницаемостью плазмы, что и принято во всех существующих работах по физике плазмы. Если рассмотреть любую среду, в том числе и плазму, то плотность токов (в дальнейшем будем сокращённо говорить просто ток) будет определяться тремя составляющими, зависящими от электрического поля. Ток резистивных потерь будет синфазен электрическому полю. Ёмкостной ток, определяемый первой производной электрического поля по времени, будет опережать напряженность электрического поля по фазе на ${\frac {\pi }{2}}$ . Этот ток называется током смещения. Ток проводимости, определяемый интегралом от электрического поля по времени, будет отставать от электрического поля по фазе на ${\frac {\pi }{2}}$ . Все три указанные составляющие тока и будут входить во второе уравнение Максвелла и других составляющих токов быть не может. Причём все эти три составляющие токов будут присутствовать в любых немагнитных средах, в которых имеются тепловые потери. Поэтому вполне естественно, диэлектрическую проницаемость любой среды определить как коэффициент, стоящий перед тем членом, который определяется производной электрического поля по времени во втором уравнении Максвелла. При этом следует учесть, что диэлектрическая проницаемость не может быть отрицательной величиной. Это связано с тем, что через этот параметр определяется энергия электрических полей, которая может быть только положительной. Верна и другая точка зрения. Соотношение (9) можно переписать и по-другому:

${{\bf {j}}_{\Sigma }}=-{{\frac {\left({{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}-1}\right)}{\omega L}}_{}}{{\bf {E}}_{0}}\cos \omega t$

и ввести другой математический символ

$L*(\omega )={\frac {L_{k}}{\left({{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}-1}\right)}}={\frac {L_{k}}{{\omega ^{2}}{L_{k}}{\varepsilon _{0}}-1}}$.

Таким образом, можно записать:

${{\bf {j}}_{\Sigma }}=\omega \varepsilon *{(\omega )_{}}{{\bf {E}}_{0}}\cos \omega t$ ,

или

${{\bf {j}}_{\Sigma }}=-{{\frac {1}{\omega L*(\omega )}}_{}}{{\bf {E}}_{0}}\cos \omega t$ .

Как следует поступать, если в нашем распоряжении имеются величины $\varepsilon *(\omega )$ и $L*(\omega )$ , а нам необходимо вычислить полную удельную энергию диэлектрика. Здесь следует воспользоваться первой частью формулы (6.2)

${W_{\sum }}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {d\left({\omega \varepsilon *(\omega )}\right)}{d\omega }}E_{0}^{2}$,

откуда получаем

${W_{\Sigma }}={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{0}}E_{0}^{2}+{{\frac {1}{2}}_{}}{{\frac {1}{{\omega ^{2}}{L_{k}}}}_{}}E_{0}^{2}={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{0}}E_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}{L_{k}}j_{0}^{2}$.

Тот же результат получим, воспользовавшись формулой

$W={{\frac {1}{2}}_{}}{{\frac {d\left[{\frac {1}{\omega {L_{k}}*(\omega )}}\right]}{d\omega }}_{}}E_{0}^{2}$.

Приведенные соотношения показывают, что удельная энергия состоит из потенциальной энергии электрических полей и кинетической энергии носителей зарядов . При рассмотрении любых сред конечной задачей является нахождение волнового уравнения. В данном случае эта задача уже практически решена. Уравнения Максвелла для этого случая имеют вид:

$ro{t_{}}{\bf {E}}=-{\mu _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {H}}}{{\partial _{}}t}}$

$ro{t_{}}{\bf {H}}={\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}$, (10)

где ${\varepsilon _{0}}$ и ${\mu _{0}}$ – диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума. Система уравнений (10) полностью описывает все свойства бездиссипативных плазмоподобны сред. Из неё получаем

$ro{t_{}}ro{t_{}}{\bf {H}}+{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial ^{2}}{\bf {H}}}{{\partial _{}}{t^{2}}}}+{\frac {\mu _{0}}{L_{k}}}{\bf {H}}=0$ . (11)

Для случая полей, не зависящих от времени, уравнение (11) переходит в уравнение Лондонов

$ro{t_{}}ro{t_{}}{\bf {H}}+{\frac {\mu _{0}}{L_{k}}}{\bf {H}}=0$ ,

где ${\lambda _{L}}^{2}={\frac {L_{k}}{\mu _{0}}}$ – лондоновская глубина проникновения. Таким образом, можно заключить, что уравнения Лондонов являясь частным случаем уравнения (11), и не учитывают токов смещения в среде. Поэтому они не дают возможности получить волновые уравнения, описывающие процессы распространения электромагнитных волн в сверхпроводниках. Для электрических полей волновое уравнение в этом случае выглядит следующим образом:

$ro{t_{}}ro{t_{}}{\bf {E}}+{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial ^{2}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}{t^{2}}}}+{\frac {\mu _{0}}{L_{k}}}{\bf {E}}=0$ .

Для постоянных электрических полей можно записать:

$ro{t_{}}ro{t_{}}{\bf {E}}+{\frac {\mu _{0}}{L_{k}}}{\bf {E}}=0$ .

Следовательно, постоянные электрические поля проникают в сверхпроводник таким же образом, как и магнитные, убывая по экспоненциальному закону. Плотность же тока при этом растёт по линейному закону

${{\bf {j}}_{L}}={\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}$ .

Таким образом, получены данные, характеризующие процесс распространения электромагнитных волн в плазмоподобных средах.

Литература

• Гильденбург В. Б. Плазменный резонанс в лаборатории и верхней атмосфере // Соровский образовательный журнал. — 2000. — Vol. 6. — № 12. — С. 86-92.
• Mende F. F. Кинетическая индуктивность зарядов и их роль в классической электродинамике англ. = Kinetic Induktance Charges and its Role in Classical Electrodynamics. // Global Journal of Researches in Engineering: J General Engineering. — 2014. — Vol. 3. — № 5. — С. 51-54.
• Менде Ф. Ф. Дубровин А. С. Особые свойства реактивных элементов и потоков заряженных частиц // Журнал инженерная физика. — 2016. — № 11. — С. 13-21.
• С. Гордюнин Идеальные проводники и кинетическая индуктивность // Квант. — М.: Бюро «Квантум», 1996. — № 4. — С. 40-41.