Интегральные методы максимального правдоподобия

Интегральные методы максимального правдоподобия — это методы восстановления функций и их значений с учетом совокупных ошибок в данных. Эффект, обозначенный как «attenuation bias» (горизонтальное приплюснение модели)и обусловленный ошибками в независимых переменных, общеизвестен, однако отсутствуют теоретически обоснованные, эффективные и надежные методы решения проблемы. В работах [1-17] был обозначен и исследован новый подход, выраженный в виде интегрального критерия в рамках принципа максимального правдоподобия

В процессе разработки проблемы сформулированы варианты интегрируемых по искомой функции критериев правдоподобия, отдельные теоремы о состоятельности оценок и получены их доказательства, предложены и изучены достаточно широкий набор математических представлений и алгоритмических приемов для получения решений согласно общего подхода. Выявлены области значительного (до двух раз) и существенного (на порядок и более) улучшения оценок, как в смысле их состоятельности, так и в плане их эффективности, результаты подтверждены представительным количеством статистических испытаний, иллюстрированы возможности структурной идентификации для отдельных классов задач.

Были установлены принципиально важные новые возможности и перспективы, к числу которых относятся:

• Возможности уточнения оценок параметров моделей. В общем случае даже состоятельность метода ортогональной регрессии не соблюдается, кроме того накладываются различные специальные эффекты построения errors-in-variables моделей.
• Возможности формализованной наиболее правдоподобной структурной идентификации математических моделей.
• Возможности описания многозначных взаимосвязей между переменными и учета неравномерного распределения значений вдоль кривой. Выше перечисленные перспективы подхода являются принципиально недосягаемыми в традиционных методах.
• Возможности совокупной оценки характеристик погрешностей в данных, параметров моделей, границ существования, параметров равномерности и др.
• Прогноз и диагноз по errors-in-variables models. Традиционное игнорирование и закона регрессии, и ошибок в значениях регрессоров (в измерительной технике, в эконометрике) в определенных ситуациях взаимно компенсируются [15].

Проблемами, над решением которых предстоит работать, являются:

• Сложности получения аналитических выражений оценок параметров даже для простейших моделей и случаев стохастичности данных. Ограниченность возможностей аналитического исследования вопросов состоятельности и эффективности оценок обуславливает решение вопросов количественного анализа эффективности и других оценок осуществлять преимущественно путем имитационных вычислительных экспериментов.
• Исследование соотношения данного подхода с родственными принципами (некорректность по А. Н. Тихонову и принципы регуляризации, теория нечетких множеств Л.Заде, пара «близость-гладкость» сплайновых аппроксимаций, пара «сложность-близость» в теории Вапника-Червоненкиса, в теории восстановления зависимостей по эмпирическим данным и др.) по сущности, возможностям, строгости, сложности, точности и т. п. Само собой разумеется самым близким прототипом — с известными методами ортогональной регрессии, как частным и/или упрощенным случаем интегральной регрессии.

Литература

• 1. Sh. Nuritdinov, T. Azlarov, A. Muhamedbaev, A. Maksumov. About one approach to formalization of laws. Second World Conference on Intelligent Systems for Industrial Automation, WCIS — 2002. b-Quadrat Verlag, 2002. p.80-82.
• 2. Ш. Нуритдинов и др. Об одном подходе к формализации закономерностей в задачах измерения и моделирования. В сб. «Теория вероятностей и математическая статистика», НУУз, 2002.
• 3. Нуритдинов Ш., Абдушукуров А. А., Турсунов Н., Шоумаров Б. Влияние относительных ошибок в переменных на эффективность оценок параметров моделей и анализ возможностей идентификации гетероскедастичности / Материалы республиканской научно-практической конференции «Статистика и ее применения». Ташкент, 2015 г.
• 4. Sh. Nuritdinov, A.Abdushukurov, A.Odilov. Solvent estimation of parameters of models with the account mistakes in measurements of variables. Fourth World Conference on Intelligent Systems for Industrial Automation, WCIS — 2006. b-Quadrat Verlag, 2006. p.137-139.
• 5. Nuritdinov Sh., Аbdushukurov А., Оdilov А., Tursunov N. The theoretical analysis of a method of structural and parametrical identification of models taking into account errors of the data. Fifth World Conference on Intelligent Systems for Industrial Automation, WCIS-2008. b-Quadrat Verlag, 2008.
• 6. Нуритдинов Ш. Мухитдинов Д. П., Одилов А. Ш., Турсунов Н., Шаумаров Б. М. Оценка параметров линейной модели с учетом совокупных погрешностей методом «NORMAL» // «Химическая технология. Контроль и управление», № 6, 2009. — С. 11-14.
• 9. Sh. Nuritdinov, B. Shaumarov, A.Odilov. Synthesis of regularities and prognosis of them at postulation of errors in variables. Sixth World Conference on Intelligent Systems for Industrial Automation, WCIS — 2010. b-Quadrat Verlag, 2010. p.56-59.
• 10. Нуритдинов Ш., Абдушукуров А. А., Турсунов Н., Шоумаров Б. Об одном подходе к решению задач параметрической и структурной идентификации вероятностных распределений с учетом совокупных ошибок в статистических данных. Труды одиннадцатой международной конференции по финансово-актуарной математике и эвентологии безопасности. Красноярск, 2012 г. с.288-291.
• 11. Нуритдинов Ш., Абдушукуров А. А., Турсунов Н., Шоумаров Б. Новый подход к построению errors-in-variables models: перспективы и проблемы/ Материалы республиканской конференции по прикладной статистике. Ташкент, 2013..
• 12. Нуритдинов Ш., Абдушукуров А. А., Турсунов Н., Шоумаров Б. Нуритдинов Ш. Ш. Анализ состоятельности оценок параметров многомерных линейных eiv-моделей, полученных методами традиционной, ортогональной и интегральной регрессий/Материалы республиканской научно-практической конференции «Статистика и ее применения». Ташкент, 2015.
• 13.  Нуритдинов Ш., Абдушукуров А. А., Турсунов Н., Шаумаров Б. М., Нуритдинов Ш. Ш. Интегральные методы максимального  правдоподобия для задач восстановления функций и их значений с учетом совокупных ошибок в данных. Fan va texnologiyalar, Ташкент 2016, 130 с.
• 14.  Нуритдинов Ш., Абдушукуров А. А., Турсунов Н., Шаумаров Б. Нуритдинов Ш. Ш. Анализ состоятельности оценок параметров многомерных линейных eiv-моделей, полученных методами традиционной, ортогональной и интегральной регрессий/Материалы республиканской научно-практической конференции «Статистика и ее применения». Ташкент, 2015.  
• 15. Sh.Nuritdinov, А.Аbdushukurov, B.Shaumarov, N.Tursunov,  Sh.Sh.Nuritdinov. Backing up issues of the function values in the integral maximum likelihood methods. Ninth World Conference «Intelligent Systems for Industrial Automation», WCIS-2016, 25-27 October 2016, Tashkent, Uzbekistan. p.345-346.
• 16. Sh.Nuritdinov, А.-Kh.А.Adilov, B.М.Shaumarov,  Sh.Sh.Nuritdinov. Identification automation. Accounting multicollinearity in integral methods of maximum likelihood. Ninth World Conference «Intelligent Systems for Industrial Automation», WCIS-2016, 25-27 October 2016, Tashkent, Uzbekistan. p.347-350.