Использование вероятностей и статистики при решении прикладных задач

Наиболее широко в современных условиях теория вероятностей применяется при решении различных экономических задач. В качестве примера можно рассмотреть следующую задачу:

Пример 1:

Условие:

Банк выдает кредит размером 3 млн рублей на 1 год. Вероятность непогашения ссуды равна 10 %. Доход кредитной организации является случайно величиной, так как заёмщик может как вернуть кредит, так и нет. Закон распределения этой случайной величины таков: $p=0,9$; $q=0,1$. Какой должна быть ставка процента по кредиту?

Решение: Поскольку вероятность непогашения ссуды равна 10 %, соответственно вероятность погашения — 90 %.

Найдём математическое ожидание:

$m=0,9p-0,1$.

Решив неравенство:

$0,9p-0,1>0$, определим, что

$p>0,1/0,9=1/9$.

Следовательно, ставка процента по кредиту должна быть выше 11 %.

Ответ: p>11 %.

Пример 2:

Условие:

Предположим, что было продано 100000 лотерейных билетов. На это число участников разыгрывается 800 основных денежных призов и 1200 утешительных призов.

Решение:

Определим, какова вероятность выиграть основной денежный приз, какова вероятность утешительного приза и какова вероятность выиграть какой-либо приз вообще.

$P_{1}={\frac {800}{100000}}=0,008.$

$P_{2}={\frac {1200}{100000}}=0,012.$

$P_{3}={\frac {800+1200}{100000}}=0,02.$

Использование вероятностей и статистики в медицине

Медицина и здравоохранение — одни из самых популярных отраслей использования статистики. Именно статистические данные используются при разработке лекарств.

При разработке определённого лекарства от некоторой болезни используются подопытные, на которых проверяют, действуют данное лекарство или же нет. Данные опыты проводятся на большом количестве подопытных. После прохождения лечебного курса заполняются таблицы и составляются конкретные диаграммы. Это позволяет определить, работает ли средство, и на какие выборки оно действует.

Рассмотрим задачу:

В течение пяти лет с четвертого по восьмой класс в одной параллели медицинский кабинет школы вёл учёт числа различных заболеваний учеников. В результате все данные по каждой болезни суммировались и были отображены в таблице:

Болезнь	Количество учеников
Патология зрения	13
Заболевания ЖКТ	142
Сколиоз	13
Заболевания органов дыхания	104
Пиелонефрит	10
Хронический тонзиллит	10
Снижение слуха	6

Наибольшее число детей (142) перенесло заболевания ЖКТ, а наименьшее число детей (6) заболело снижением слуха. Размах ряда данных в данном случае равен 142–6=136.

Можно найти среднее арифметическое этого ряда чисел. Необходимо сложить все числа и получившуюся сумму разделить на число различных заболеваний. Среднее арифметическое будет равно:

${\frac {13+142+13+104+10+10+6}{7}}=42,57$ (ученика).

Некоторые числа в этом ряду повторяются. Для таких рядов есть более удобный способ нахождения среднего арифметического, а также других статических характеристик – составление таблицы частот.

Для того чтобы составить таблицу частот, нужно для каждого числа из данного ряда посчитать, сколько раз данное число встречается в этом ряду. Затем полученные данные внести в таблицу, в первой колонке которой – число заболеваний с четвертого по восьмой класс, а во второй – количество появлений этого числа заболеваний в ряде данных (частота).

Число заболеваний	Частота
6	1
10	2
13	2
104	1
142	1

Чтобы найти среднее арифметическое исходного ряда, уже не понадобится складывать все числа ряда. Достаточно каждое из чисел первой колонки умножить на частоту его появления в ряду, сложить все получившиеся произведения, а затем поделить результат на общее количество данных (сумму всех частот):

${\frac {6\cdot 1+10\cdot 2+13\cdot 2+104\cdot 1+142\cdot 1}{7}}=42,57$ (ученика).

Получен тот же результат, для больших рядов с повторяющимися данными этот способ даёт выигрыш в количестве действий.

Из таблицы частот также сразу можно найти моду ряда данных. Поскольку числа «10» и «13» встречаются в ряду 2 раза и никакие другие числа ряда не встречаются в нём 2 или более раз, то ряд имеет две моды: 10 и 13.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Использование вероятностей и статистики при решении прикладных задач», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Использование_вероятностей_и_статистики_при_решении_прикладных_задач» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».