Компьютер для операций с математическими функциями

Компьютер для операций с математическими функциями — компьютер для оперирования с функциями на аппаратном уровне (без программирования этих операций).

История

Вычислительная машина для операций с функциями была предложена и разработана Карцевым в 1967 году. В число операций этой вычислительной машины входили сложение, вычитание и умножение функций, сравнение функций, аналогичные операции над функцией и числом, отыскание максимума функций, вычисление неопределенного интеграла, вычисление определенного интеграла от производной двух функций, сдвиг функции по абсциссе и т. д. По архитектуре эта вычислительная машина являлась (пользуясь современной терминологией) векторным процессором. В ней использовался тот факт, что многие из этих операций могут быть истолкованы как известные операции над векторами: сложение и вычитание функций — как сложение и вычитание векторов, вычисление определенного интеграла от производной двух функций — как вычисление скалярного произведения двух векторов, сдвиг функций по абсциссе — как поворот вектора относительно осей координат и т. д. В 1966 году Хмельник предложил метод кодирования функций , то есть представления функции единым (для функции в целом) позиционным кодом. При этом указанные операции с функциями выполняются как уникальные машинные операции с такими кодами на единственном арифметическом устройстве

Позиционные коды функций одного аргумента

См. также: Позиционное кодирование (значения)

Основная идея

Позиционный код целого числа $A$ представляет собой запись цифр $\alpha$ этого числа в некоторой позиционной системе счисления, имеющую вид

$A=\alpha _{0}\alpha _{1}\dots \alpha _{k}\dots \alpha _{n}$

Такой код можно назвать линейным. В отличие от него позиционный код функции $F(x)$ одного аргумента $x$ имеет вид

$F(x)={\begin{pmatrix}\ &\ &\cdots \\\ &\ &\alpha _{22}\cdots \alpha _{2k}\cdots \\\ &\alpha _{11}&\alpha _{12}\cdots \alpha _{1k}\cdots \\\alpha _{00}&\alpha _{01}&\alpha _{02}\cdots \alpha _{0k}\cdots \end{pmatrix}}$

то есть является плоским и треугольным, поскольку цифры в нем образуют треугольник.
Указанному позиционному коду целого числа соответствует сумма вида

$A=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\rho ^{k}$,.

где $\rho$ — основание данной системы счисления. Указанному позиционному коду функции одного аргумента соответствует двойная сумма вида

$F(x)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=0}^{k}\alpha _{mk}R^{k}y^{k-m}(1-y)^{m}$,

где $R$ — целое положительное число, количество значений цифры $\alpha$, $y$ — определенная функция аргумента $x$.
Сложение позиционных кодов чисел связано с передачей переноса в старший разряд по схеме

$\alpha _{k}\longrightarrow \alpha _{k+1}$.

Сложение позиционных кодов функций одного аргумента также связано с передачей переноса по схеме

${\begin{pmatrix}\ \ &\alpha _{k+1,m+1}\\\ \nearrow &\ \\\alpha _{k,m}\longrightarrow &\alpha _{k+1,m}\end{pmatrix}}$.

При этом один и тот же перенос передается одновременно в два старших разряда.

R-е треугольные коды

Треугольный код называется R-м (и обозначается как $TK_{R}$), если числа $\alpha _{mk}$ принимают значения из множества

$D_{R}=\{-r_{1},-r_{1}+1,\dots ,-1,0,1,\dots ,r_{2}-1,r_{2}\},$ где $r_{1},\;r_{2}\geq 0$ и $R_{}^{}=r_{1}+r_{2}+1$.

Например, треугольный код является троичным $TK_{3}$, если $\alpha _{mk}\in (-1,0,1)$, и — четверичным $TK_{4}$, если $\alpha _{mk}\in (-2,-1,0,1)$.
Для R-х треугольных кодов справедливы следующие равенства:

${\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &-a\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}$,

где a — любое число. Существует $TK_{R}$ любого целого действительного числа. В частности, $TK_{R}(\alpha )=\alpha$. Также существует $TK_{R}$ любой функции вида $y^{k}$. В частности, $TK_{R}(y^{2})=(0\ 0\ 1)$.

Одноразрядное сложение

в R-х треугольных кодах состоит в том, что

• в данном $(mk)$-разряде определяется сумма $S_{mk}^{}$ слагаемых разрядов $\alpha _{mk},\ \beta _{mk}$ и двух переносов $p_{m,k-1},\ p_{m-1,k-1}$, поступивших в данный разряд слева, то есть

$S_{mk}^{}=\alpha _{mk}+\beta _{mk}+p_{m,k-1}+p_{m-1,k-1}$,

• эта сумма представляется в виде $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+Rp_{mk}$, где $\sigma _{mk}\in D_{R}$,
• $\sigma _{mk}$ записывается в $(mk)$-разряд суммарного кода, а перенос $p_{mk}$ из данного разряда передается в $(m,k+1)$-разряд и $(m+1,k+1)$-разряд.

Эта процедура описывается (как и при одноразрядном сложении чисел) таблицей одноразрядного сложения, где должны присутствовать все значения слагаемых $\alpha _{mk}\in D_{R}$ и $\beta _{mk}\in D_{R}$ и все значения переносов, возникающих при разложении суммы $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+Rp_{mk}$. Такая таблица может быть синтезирована при $R>2.$
Ниже приведена таблица одноразрядного сложения при $R=3$:

Smk	TK(Smk)		$\sigma _{mk}^{}$	$p_{mk}^{}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
(-1)	(-1)	0	(-1)	0
.	.	1	.	.
2	(-1)	1	(-1)	1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.	(-1)	.	.
(-2)	1	(-1)	1	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-3)	0	(-1)	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-4)	(-1)	(-1)	(-1)	(-1)

Одноразрядное вычитание

в R-х треугольных кодах отличается от одноразрядного сложения только тем, что в данном $(mk)$-разряде величина $S_{mk}^{}$ определяется по формуле

$S_{mk}^{}=\alpha _{mk}-\beta _{mk}+p_{m,k-1}+p_{m-1,k-1}$.

Одноразрядное деление на параметр R

в R-х треугольных кодах основано на использовании соотношения

${\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}}$,

откуда следует, что деление каждого разряда вызывает переносы в два нижних разряда. Следовательно, разрядный результат в этой операции является суммой частного от деления данного разряда на R и переносов из двух верхних разрядов. Таким образом, при делении на параметр R

• в данном $(mk)$-разряде определяется сумма

$S_{mk}^{}=\alpha _{mk}/R-p_{m+1,k}/R+p_{m+1,k+1}$,

• эта сумма представляется в виде $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+p_{mk}/R$, где $\sigma _{mk}\in D_{R}$,
• $\sigma _{mk}$ записывается в $(mk)$-разряд результирующего кода, а перенос $p_{mk}$ из данного разряда передается в $(m-1,k-1)$-разряд и $(m-1,k)$-разряд.

Эта процедура описывается таблицей одноразрядного деления на параметр R, где должны присутствовать все значения слагаемых и все значения переносов, возникающих при разложении суммы $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+p_{mk}/R$. Такая таблица может быть синтезирована при $R>2.$
Ниже приведена таблица одноразрядного деления на параметр R при $R=3$:

Smk	TK(Smk)		$\sigma _{mk}^{}$	$p_{mk}^{}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.	(-1)	.	.
(-1)	0	0	(-1)	0
.	.	0	.	.
1/3	1	(-1/3)	0	1
.	.	1	.	.
2/3	(-1)	1/3	1	(-1)
.	.	1	.	.
4/3	1	(-1/3)	1	1
.	.	2	.	.
5/3	(-1)	1/3	2	(-1)
.	.	0	.	.
(-1/3)	(-1)	1/3	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-2/3)	1	(-1/3)	(-1)	1
.	.	(-1)	.	.
(-4/3)	(-1)	1/3	(-1)	(-1)
.	.	(-2)	.	.
(-5/3)	1	(-1/3)	(-2)	1

Сложение и вычитание

R-х треугольных кодов состоит (как и в позиционных кодах чисел) в последовательно выполняемых одноразрядных операциях. При этом одноразрядные операции во всех разрядах каждого столбца выполняются одновременно.

Умножение

R-х треугольных кодов. Умножение некоторого кода $TK_{R}'^{}$ на $(mk)$-разряд другого кода $TK_{R}''^{}$ заключается в $(mk)$-сдвиге кода $TK_{R}'^{}$, то есть сдвиге его на k столбцов влево и на m строк вверх. Умножение кодов $TK_{R}'^{}$ и $TK_{R}''^{}$ заключается в последовательных $(mk)$-сдвигах кода $TK_{R}'^{}$ и сложениях сдвинутого кода $TK_{R}'^{}$ с частичным произведением (как и в позиционных кодах чисел).

Дифференцирование

R-х треугольных кодов. Производная функции $F(x)$, определенной выше,

${\frac {\partial F(x)}{\partial x}}={\frac {\partial y}{\partial x}}{\frac {\partial F(x)}{\partial y}}$.

Поэтому дифференцирование треугольных кодов функции $F(x)$ заключается в определении треугольного кода частной производной ${\frac {\partial F(x)}{\partial y}}$ и умножении его на известный треугольный код производной ${\frac {\partial y}{\partial x}}$. Определение треугольного кода частной производной ${\frac {\partial F(x)}{\partial y}}$ основано на соотношении

${\frac {\partial }{\partial x}}{\begin{pmatrix}\ &\ &0\\\ &0&\alpha _{mk}\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ &\ &(k-m)\alpha _{mk}\\\ &0&(k-2m)\alpha _{mk}\\0&0&(-m)\alpha _{mk}\end{pmatrix}}$.

Способ дифференцирования заключается в организации переносов из mk-разряда в (m+1,k)-разряд и в (m-1,k)-разряд, а их суммирование в данном разряде производится аналогично одноразрядному сложению.

Кодирование и декодирование

R-х треугольных кодов. Функция, представленная рядом вида

$F(x)=\sum _{k=0}^{n}A_{k}y^{k}$,

с целыми коэффициентами $A_{k}$, может быть представлена R-м треугольным кодом, так как эти коэффициенты и функции $y^{k}$ имеют R-е треугольные коды (о чем сказано в начале раздела). С другой стороны, R-й треугольный код может быть представлен указанным рядом, так как любое слагаемое $\alpha _{mk}R^{k}y^{k}(1-y)^{m}$ в позиционном разложении функции (соответствующем этому коду) может быть представлено таким же рядом.

Укорочение

R-х треугольных кодов. Так называется операция уменьшения числа ненулевых столбцов. Необходимость укорочения возникает при возникновении переносов за разрядную сетку. Укорочение заключается в делении на параметр R. При этом все коэффициенты представимого кодом ряда уменьшаются в R раз, а дробные части этих коэффициентов отбрасываются. Исчезает также старший член ряда. Такое сокращение допустимо, если известно, что ряды функций являются сходящимися. Укорочение состоит в последовательно выполняемых одноразрядных операциях деления на параметр R. При этом одноразрядные операции во всех разрядах каждой строки выполняются одновременно, а переносы из младшей строки отбрасываются.

Масштабный коэффициент

R-й треугольный код сопровождается масштабным коэффициентом M, аналогичным порядку в числе с плавающей точкой. Коэффициент M позволяет представить все коэффициенты кодируемого ряда в виде целых чисел. Коэффициент M умножается на R при укорочении кода. При сложении коэффициенты M выравниваются, для чего необходимо укорачивать один из слагаемых кодов. При умножении коэффициенты M также умножаются.

Позиционные коды функций многих аргументов

Рис. 1. Пирамидальный код функции двух аргументов

Позиционный код функции двух аргументов изображен на рис. 1. Ему соответствует тройная сумма вида

$F(x,v)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m1=0}^{k}\sum _{m2=0}^{k}\alpha _{m1,m2,k}R^{k}y^{k-m1}(1-y)^{m1}z^{k-m2}(1-z)^{m2}$,

где $R$ — целое положительное число, количество значений цифры $\alpha _{m1,m2,k}$, а $y(x),~z(v)$ — определенные функции аргументов $x,~v$ соответственно. На рис. 1 узлы соответствуют цифрам $\alpha _{m1,m2,k}$, а в кружках показаны значения индексов ${m1,m2,k}$ соответствующей цифры. Позиционный код функции двух аргументов называется пирамидальным. Позиционный код называется R-м (и обозначается как $PK_{R}$), если числа $\alpha _{m1,m2,k}$ принимают значения из множества $D_{R}$. При сложении кодов $PK_{R}$ перенос распространяется в четыре разряда и поэтому $R\geq 7$.

Позиционному коду функции нескольких аргументов соответствует сумма вида

$F(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{a})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m_{1}=0}^{k}\ldots \sum _{m_{a}=0}^{k}(\alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}R^{k}\prod _{i=1}^{a}(y_{i}^{k-m_{i}}(1-y_{i})^{m_{i}}))$,

где $R$ — целое положительное число, количество значений цифры $\alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}$, а $y_{i}(x_{i})$ — определенные функции аргументов $x_{i}$. Позиционный код функции нескольких аргументов называется гиперпирамидальным. На рис. 2 показан для примера позиционный гиперпирамидальный код функции трех аргументов. В нем узлы соответствуют цифрам $\alpha _{m1,m2,m3,k}$, а в кружках показаны значения индексов ${m1,m2,m3,k}$ соответствующей цифры. Позиционный гиперпирамидальный код называется R-м (и обозначается как $GPK_{R}$), если числа $\alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}$ принимают значения из множества $D_{R}$. При сложении кодов $GPK_{R}$ перенос распространяется в a-мерный куб, содержащий $2^{a}$ разрядов и поэтому $R\geq (2^{a-1}-1)$.