Ленгмюровская частота

Ленгмюровская частота или плазменная частота представляет резонанс тока смещения и тока проводимости при наложении на плазму переменных электрических полей, и вводится в ряде фундаментальных работ по физике плазмы Ленгмюровская частота определяется соотношением

${\omega _{0}}={\sqrt {\frac {1}{{L_{k}}{\varepsilon _{0}}}}}$,

где ${\varepsilon _{0}}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума ${L_{k}}$ — кинетическая индуктивность зарядов Когда на плазму наложено переменное электрическое поле с частотой $\omega$ , выполняется соотношение

$\varepsilon *(\omega )={\varepsilon _{0}}\left({1-{\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}\right)$

где $\varepsilon *(\omega )$ — диэлектрическая проницаемость плазмы. Ленгмюровская частота играет важную роль при рассмотрении свойств электромагнитных волн, распространяющихся в плазме. При распространении в плазме электромагнитных волн основную роль играют электроны, поскольку их масса значительно меньше, чем масса ионов. Уравнение движения электрона в электрическом поле имеет вид:

$m{\frac {d{\bf {v}}}{dt}}=e{\bf {E}}$, (1)

где $m$ и $e$ — масса и заряд электрона, ${\bf {E}}$ — напряженность электрического поля, ${\bf {v}}$ — скорость движения заряда. В работе показано, что это уравнение может быть использовано и для описания движения электронов в горячей плазме. Поэтому оно может быть распространено и на этот случай. Используя выражение для плотности тока

${\bf {j}}=ne{\bf {v}}$, (2)

из (1) получаем плотность тока проводимости

${{\bf {j}}_{L}}={\frac {n{e^{2}}}{m}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}$. (3)

В соотношении (2) и (3) величина $n$ представляет плотность электронов. Введя обозначение

${L_{k}}={\frac {m}{n{e^{2}}}}$, (4)

находим

${{\bf {j}}_{L}}={\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}$. (5)

В данном случае величина ${L_{k}}$ представляет удельную кинетическую индуктивность носителей заряда. Её существование связано с тем, что заряд, имея массу, обладает инерционными свойствами. Для случая гармонических полей ${\bf {E}}={{\bf {E}}_{0}}\sin \omega t$ соотношение (5) запишется:

${{\bf {j}}_{L}}=-{\frac {1}{\omega {L_{k}}}}{{\bf {E}}_{0}}\cos \omega t$. (6)

Из соотношения (5) и (6) видно, что ${{\bf {j}}_{L}}$ представляет индуктивный ток, так как его фаза запаздывает по отношению к напряжённости электрического поля на угол ${\frac {\pi }{2}}$ . Если заряды находятся в вакууме, то при нахождении суммарного тока нужно учитывать и ток смещения ${{\bf {j}}_{L}}$ . Видно, что этот ток носит ёмкостной характер, так как его фаза на ${\frac {\pi }{2}}$ опережает фазу напряжённости электрического поля. Таким образом, суммарная плотность тока составит:

${{\bf {j}}_{\sum }}={\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}$,

или

${{\bf {j}}_{\Sigma }}={\left({\omega {\varepsilon _{0}}-{\frac {1}{\omega {L_{k}}}}}\right)_{}}{{\bf {E}}_{0}}\cos \omega t={\varepsilon _{0}}\left({1-{\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}\right)\omega {{\bf {E}}_{0}}\cos \omega t={\varepsilon ^{*}}(\omega )\omega {{\bf {E}}_{0}}\cos \omega t$. (7)

Таким образом, при наличии в плазме переменного электрического поля в ней одновременно текут два тока различной природы: ток смещения и ток проводимости. Эти токи конкурирующие, поскольку у них различная зависимость от частоты. Равенство нулю члена в скобках и означает резонанс этих токов на ленгмюровской частоте. Как нужно поступать, если известна величина $\varepsilon *(\omega )$ , а необходимо вычислить полную удельную энергию, накопленную в плазме? Очевидно, при этом следует учесть не только энергию электрических полей

${W_{E}}={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{0}}E_{0}^{2}$,

но и кинетическую энергию носителей зарядов

${W_{j}}={\frac {1}{2}}{L_{k}}j_{0}^{2}$. (8)

Для этого следует воспользоваться соотношение, приведенным в работе

${W_{\sum }}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {d\left({\omega \varepsilon *(\omega )}\right)}{d\omega }}E_{0}^{2}$, (9)

откуда получаем

${W_{\Sigma }}={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{0}}E_{0}^{2}+{{\frac {1}{2}}_{}}{{\frac {1}{{\omega ^{2}}{L_{k}}}}_{}}E_{0}^{2}={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{0}}E_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}{L_{k}}j_{0}^{2}$.

Полученное соотношение, как и предполагалось, показывает, что удельная энергия состоит из потенциальной энергии электрических полей и кинетической энергии носителей зарядов. При рассмотрении любых сред конечной задачей является нахождение волнового уравнения. В данном случае эта задача уже практически решена. Уравнения Максвелла для этого случая имеют вид:

$ro{t_{}}{\bf {E}}=-{\mu _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {H}}}{{\partial _{}}t}}$ , $ro{t_{}}{\bf {E}}=-{\mu _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {H}}}{{\partial _{}}t}}$, (10)

где ${\varepsilon _{0}}$ и ${\mu _{0}}$ — диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума. Из (10) получаем:

$ro{t_{}}ro{t_{}}{\bf {H}}+{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial ^{2}}{\bf {H}}}{{\partial _{}}{t^{2}}}}+{\frac {\mu _{0}}{L_{k}}}{\bf {H}}=0$. (11)

Для случая полей, не зависящих от времени, уравнение (11) переходит в уравнение Лондонов

$ro{t_{}}ro{t_{}}{\bf {H}}+{\frac {\mu _{0}}{L_{k}}}{\bf {H}}=0$,

где ${\lambda _{L}}^{2}={\frac {L_{k}}{\mu _{0}}}$ — лондоновская глубина проникновения. Интересно рассмотреть случай, когда электромагнитная волна распространяется между двумя проводящими плоскостями, между которыми расположена плазма.

Решение системы уравнений (10) даёт возможность определить волновое число:

$k_{z}^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({1-{\frac {\omega _{\rho }^{2}}{\omega ^{2}}}}\right)$ (12)

и групповую, и фазовую скорости:

$v_{g}^{2}={c^{2}}\left({1-{\frac {\omega _{\rho }^{2}}{\omega ^{2}}}}\right)$, (13)

$v_{F}^{2}={\frac {c^{2}}{\left({1-{\frac {\omega _{\rho }^{2}}{\omega ^{2}}}}\right)}}$, (14)

где $c={\left({\frac {1}{{\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}\right)^{1/2}}$ — скорость света в вакууме. Если частота равна ленгмюровской частоте, то фазовая скорость электромагнитной волны равна бесконечности, что соответствует поперечному резонансу на легмюровской частоте. В каждый момент времени распределение полей и токов в такой линии однородно и не зависит от координаты, ток в плоскостях линии в направлении z отсутствует, а фазовая скорость равна бесконечности. Это означает, что вместо проводящих плоскостей могут быть использованы любые плоскости или устройства, ограничивающие плазму с двух сторон. Из соотношений (12-14) следует, что в точке $\omega ={\omega _{p}}$ имеет место поперечный резонанс с бесконечной добротностью. При наличии потерь в резонаторе будет иметь место затухание, в длинной линии в этом случае ${k_{z}}\neq 0$ , и в линии будет распространяться затухающая поперечная волна, направление распространения которой будет нормально направлению движения зарядов. До сих пор рассматривался физически нереализуемый случай, когда потери в плазме отсутствуют, что соответствует бесконечной добротности плазменного резонатора. Если потери имеются, причем совершенно не имеет значения, какими физическими процессами такие потери обусловлены, то добротность плазменного резонатора будет конечной. Для такого случая уравнения Максвелла будут иметь вид:

$ro{t_{}}{\bf {E}}=-{\mu _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {H}}}{{\partial _{}}t}}$,

$ro{t_{}}{\bf {H}}={\sigma _{p.e{f_{}}}}{\bf {E}}+{\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}$. (15)

Наличие потерь учитывается членом ${\sigma _{p.ef}}{\vec {E}}$ , причем, употребляя возле проводимости индекса $ef$ , тем самым подчеркивается, что нас не интересует сам механизм потерь, а интересует только сам факт их существования. Величину ${\sigma _{ef}}$ определяет добротность плазменного резонатора. Для измерения ${\sigma _{ef}}$ следует выбрать отрезок линии длиной ${z_{0}}$ , величина которого значительно меньше длины волны в диссипативной плазме. Такой отрезок будет эквивалентен контуру с сосредоточенными параметрами:

$C={\varepsilon _{0}}{\frac {b{z_{0}}}{a}}$, (16)

$L={L_{k}}{\frac {a}{b{z_{0}}}}$, (17)

$G={\sigma _{\rho .ef}}{\frac {b{z_{0}}}{a}}$, (18)

где $a$ — расстояние между плоскостями линии, а $b$ — их ширина, $G$ — проводимость, подключенная параллельно $C$ и $L$ . Проводимость и добротность в таком контуре связаны соотношением:

$G={\frac {1}{Q_{\rho }}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}$,

откуда, учитывая (16 — 18), получаем:

${\sigma _{\rho .ef}}={\frac {1}{Q_{\rho }}}{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{L_{k}}}}$. (19)

Измеряя добротность такого плазменного резонатора, можно определить

$ro{t_{}}{\bf {E}}=-{\mu _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {H}}}{{\partial _{}}t}}$ $ro{t_{}}{\bf {H}}={\frac {1}{Q_{\rho }}}{{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{L_{k}}}}_{}}{\bf {E}}+{\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}$. (20)

Рассмотрим решение системы уравнений (20) в точке $\omega ={\omega _{p}}$ , при этом, поскольку

${\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}=0$,

получаем

$ro{t_{}}{\bf {E}}=-{\mu _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {H}}}{{\partial _{}}t}}$

$ro{t_{}}{\bf {H}}={\frac {1}{Q_{P}}}{{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{L_{k}}}}_{}}{\bf {E}}$

Эти соотношения и определяют волновые процессы в точке резонанса, если в плазме имеются потери. Если потери в плазме, заполняющей линию малы, а к линии подключен сторонний источник тока, то можно положить:

$ro{t_{}}{\vec {E}}\cong 0$

${\frac {1}{Q_{p}}}{{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{L_{k}}}}_{}}{\bf {E}}+{\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt={{\bf {j}}_{for}}}$, (21)

где ${{\vec {j}}_{for}}$ — плотность сторонних токов. Проинтегрировав (21) по времени и разделив обе части на ${\varepsilon _{0}}$ , получим

$\omega _{p_{}}^{2}{\bf {E}}+{\frac {\omega _{p}}{Q_{p}}}\cdot {\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {{\partial ^{2}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}{t^{2}}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {{\partial _{}}{{\bf {j}}_{for}}}{{\partial _{}}t}}$. (22)

Если (22) проинтегрировать по поверхности нормальной к вектору ${\bf {E}}$ и ввести электрический поток как ${P_{E}}=\int {{\bf {E}}d{\bf {S}}}$ получим:

$\omega _{p}^{2}{P_{E}}+{\frac {\omega _{p}}{Q_{p}}}\cdot {\frac {{\partial _{}}{P_{E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {{\partial ^{2}}{P_{E}}}{{\partial _{}}{t^{2}}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {{\partial _{}}{I_{for}}}{{\partial _{}}t}}$, (23)

где ${I_{for}}$ — сторонний ток. Уравнение (23) является уравнением гармонического осциллятора с правой частью, характерное для двухуровневых лазеров

Литература

• Гильденбург В. Б. Плазменный резонанс в лаборатории и верхней атмосфере // Соровский образовательный журнал. — 2000. — Vol. 6. — № 12. — С. 86-92.
• Mende F. F. Кинетическая индуктивность зарядов и их роль в классической электродинамике (англ.) = Kinetic Induktance Charges and its Role in Classical Electrodynamics. // Global Journal of Researches in Engineering: J General Engineering. — 2014. — Vol. 3. — № 5. — С. 51-54.
• Менде Ф. Ф. Дубровин А. С. Особые свойства реактивных элементов и потоков заряженных частиц // Журнал инженерная физика. — 2016. — № 11. — С. 13-21.
• С. Гордюнин Идеальные проводники и кинетическая индуктивность // Квант. — М.: Бюро «Квантум», 1996. — № 4. — С. 40-41.